10.2 Topologia in spazi metrici[2C2]

Sia \((X,d)\) uno spazio metrico.

Notate che, avendo la definizione operativa 282 di “aperto”, allora gli assiomi (nella definizione 243) in questo caso diventano teoremi.

E283

[0NZ] Argomenti:palle.

Dimostrate che

\begin{equation} \label{eq:inclpalle} B_{𝜌}(x)⊆ B_ r(x_ 0) \end{equation}

284

per ogni \(x∈ B_𝜌(x_ 0)\) e per ogni \(0{\lt}𝜌≤ r-d(x,x_ 0)\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0P0’]

E283

[0P1] Argomenti:palle, dischi. Siano \(x_ 1,x_ 2∈ X\), \(r_ 1,r_ 2{\gt}0\), se \(d(x_ 1,x_ 2)≥ r_ 1+r_ 2\) allora

\begin{equation} \label{eq:disg_ palle} B_{r_ 1}(x_ 1)∩ D_{r_ 2}(x_ 2)=∅\quad . \end{equation}

285

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0P2’]

E283

[0P3] Argomenti:parte interna. Prerequisiti:1.Mostrate che \(B_ r(x)\) è un aperto usando la definizione 282. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0P4’]

E283

[0P5] Si mostri che uno spazio metrico è \(T_ 2\) cioè Hausdorff (si veda la definizione in 245).

E283

[0P6] Se \(A=B^ c\) allora mostrate che \((\overline B)^ c={{A}^\circ }\) (usando le definizioni di questa sezione).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0P7’]

E283

[0P8]Prerequisiti:5.Mostrate che le nozioni di parte interna e chiusura viste qui sopra sono equivalenti a quelle presentate nella definizione 243.

E283

[0PB] Argomenti:parte interna. Mostrare che \(E\) è aperto se e solo se \({{E}^\circ }=E\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0PC’]

E283

[0PD] Argomenti:parte interna. Mostrate che se \(A⊆ B⊆ X\) e \(A\) è aperto allora \(A⊆ {{B}^\circ }\) usando la definizioni sopra riportate.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0PF’]

E283

[0PG] Argomenti:parte interna. Mostrate che se \(A⊆ B⊆ X\) allora \({{A}^\circ }⊆ {{B}^\circ }\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0PH’]

E283

[0PJ] Argomenti:parte interna.Prerequisiti:3,8.

Dato \(X\) spazio metrico e \(A⊆ X\), mostrate che

\[ {{A}^\circ } = {{\left({{A}^\circ }\right)}^\circ }~ ~ , \]

usando la definizioni sopra riportate.

Per quanto detto in 7, questo equivale a dire che \({{A}^\circ }\) è un aperto.

(Per il caso di \(X\) spazio topologico, si veda il 5)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0PK’]

E283

[0PM] Argomenti:parte interna.

Mostrare che \(\overline E=E\) se e solo se \(E\) è chiuso.

E283

[0PP] Argomenti:chiusura. Prerequisiti:9,5.(Replaces 0PN)

Mostrate che se \(B⊆ A⊆ X\) allora \( \overline B⊆ \overline A\); usando la definizioni sopra riportate, oppure per passaggio al complementare and using 9.

E283

[0PQ] Argomenti:chiusura.Prerequisiti:5, 12.

Dato \(X\) spazio metrico e \(A⊆ X\), mostrate che

\[ \overline A= \overline{\left(\overline A\right)} \]

sia per passaggio al complementare rispetto al 10, sia usando la definizione di \(\overline A\) come “insieme dei punti aderenti”.

Per quanto detto in 11, questo equivale a dire che \(\overline A\) è un chiuso.

E283

[0PR] Sia \(E⊆ X\), allora \(E\) è uno spazio metrico con la distanza ristretta \(\tilde d=d|_{E× E}\).

Mostrate che \(A⊆ E\) è aperto in \((E,\tilde d)\) (secondo la definizione all’inizio di questa sezione) se e solo esiste \(V⊆ X\) aperto in \((X,d)\) per cui \(V∩ E = A\).

(Il secondo modo di definire “aperto” è usato nella topologia).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2GD’]

E283

[0PS] Prerequisiti:2.Sia \(X\) un insieme con due distanze \(d_ 1,d_ 2\); siano \(𝜏_ 1,𝜏_ 2\) rispettivamente le topologie indotte. Si ha che \(𝜏_ 1⊆ 𝜏_ 2\) se e solo se

\[ ∀ x∈ X~ ∀ r_ 1{\gt}0~ ∃ r_ 2{\gt}0 ~ :~ B^ 2(x,r_ 2)⊆ B^ 1(x,r_ 1) \]

dove

\[ B^ 2(x,r_ 2)=\{ y∈ X:d^ 2(x,y){\lt}r_ 2\} \quad ,\quad B^ 1(x,r_ 1)=\{ y∈ X:d^ 1(x,y){\lt}r_ 1\} \quad . \]

Notiamo che questo esercizio è l’analogo in spazi metrici del principio 2 per le basi di topologie.

E283

[0PT] Prerequisiti:2, 15, 4, 2,3.

Presi \((X_ 1,d_ 1),\ldots ,(X_ n,d_ n)\) spazi metrici, sia \(X=X_ 1× \cdots × X_ n\).

Sia \(𝜑\) una delle norme definite in eqn. 12.1 in Sez. 12.1. Due possibili esempi sono \(𝜑(x)=|x_ 1|+\cdots + |x_ n|\) oppure \(𝜑(x)=\max _{i=1\ldots n} |x_ i|\).

Definiamo infine per \(x,y∈ X\)

\begin{equation} d(x,y)=𝜑\big( d_ 1(x_ 1,y_ 1), \ldots , d_ n(x_ n,y_ n)\big)\quad . \label{eq:dist_ prodotto} \end{equation}

286

Si mostri che \(d\) è una distanza; si mostri che la topologia in \((X,d)\) coincide con la topologia prodotto (si veda 2).

Si noti che questo approccio generalizza il modo con cui viene definita la distanza Euclidea fra punti in \(ℝ^ n\) (prendendo \(X_ i=ℝ\) e \(𝜑(z)=\sqrt{∑_ i |z_ i|^ 2}\)). Ne deduciamo che la topologia di \(ℝ^ n\) è il prodotto delle topologie di \(ℝ\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0PX’]

Si veda anche l’esercizio 2, che riformula quanto sopra usando il concetto di basi di topologie.

[UNACCESSIBLE UUID ’0PV’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0PW’] [0PY] Prerequisiti:2,13.

Sia \(D(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y\in X : d(x,y)\le r\} \) il disco, si mostri che è chiuso.

Sia \(S(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y\in X : d(x,y)= r\} \) la sfera, si mostri che è chiusa.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0PZ’] [0Q0]Prerequisiti:286,3,286, 12.Sia \(r{\gt}0\).

Sia \(D(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ X : d(x,y)≤ r\} \) il disco; si mostri che \(\overline{B(x,r)}⊆ D(x,r)\) e che \(B(x,r)⊆ {{D(x,r)}^\circ }\).

Sia \(S(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ X : d(x,y)= r\} \) la sfera; si mostri che \(∂{B(x,r)}⊆ S(x,r)\).

Si trovino esempi di spazi metrici in cui non valgono le uguaglianze (una, o entrambe).

Si trovi un esempio di spazio metrico in cui vi è un disco che è aperto ¹ .

(Si veda anche 1 per il caso dello spazio \(ℝ^ n\)). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Q1’][UNACCESSIBLE UUID ’0Q2’] [0Q3] Prerequisiti:6.Dato \(A⊆ X\) sottoinsieme di uno spazio metrico, si ha che \(x∈ ∂ A\) se e solo se esistono successioni \((y_ n)⊆ A\) e \((z_ n)⊆ A^ c\) tali che \(y_ n→_ n x\) e \(z_ n→_ n x\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Q4’] [0Q5] Prerequisiti:Sezione  8.9. Trovate un esempio di spazio metrico \((M,d)\) che non soddisfi il secondo assioma di numerabilità, cioè tale che non esiste una base numerabile per la topologia associata a \((M,d)\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Q6’] [0Q7] Prerequisiti:Sezione  8.9.Sia \((M,d)\) uno spazio metrico e supponiamo che esista \(D⊆ M\) che sia numerabile e denso. In questo caso si dice che \((M,d)\) è separabile. Mostrate che \((M,d)\) soddisfa il secondo assioma di numerabilità.

Il viceversa è vero in qualunque spazio topologico, si veda 2. [0Q8] Prerequisiti:8,12, 7, 5.Difficoltà:*.

Sia \(X\) è uno spazio metrico, e \(A⊆ X\). Vogliamo studiare la operazione “apre-chiude” \(\overline{({{ A}^\circ })}\) (che è la chiusura della parte interna di \(A\)).

• Mostrate un semplice esempio in cui \(\overline{({{ A}^\circ })}\) non è contenuto ne contiene \(A\).

• Scrivete poi una caratterizzazione di \(\overline{({{ A}^\circ })}\) usando successioni e palle.

• Usatela per mostrare che l’operazione “apre-chiude” è idempotente, cioè, se \(D=\overline{({{ A}^\circ })}\) e poi \(E=\overline{({{D}^\circ })}\) allora \(E=D\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Q9’][UNACCESSIBLE UUID ’0QB’] [0QC] Prerequisiti:1.Mostrate che, per ogni insieme chiuso \(C⊆ X\) esistono numerabili insiemi aperti \(A_ n\) tali che \(⋂_ n A_ n=C\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0QD’]

Un insieme ottenuto come intersezione di numerabili aperti è noto come “un insieme \(G_𝛿\)”. Il precedente esercizio mostra che in uno spazio metrico ogni chiuso è un \(G_𝛿\).

Passando al complementare si ottiene questa affermazione. Un insieme ottenuto come unione di numerabili chiusi è noto come “un insieme \(F_𝜎\)”. Il precedente esercizio mostra che in uno spazio metrico ogni aperto è un \(F_𝜎\).

Si veda anche la sezione 14.4. [0QF] Difficoltà:**.Trovate un esempio di spazio metrico in cui per ogni \(x∈ X,r{\gt}0\) si ha che \(B_ r(x)\) è un chiuso, ma la topologia associata non è discreta.  ²

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0QG’]

Notiamo che un tale spazio deve essere totalmente disconnesso come mostrato in 1.

[UNACCESSIBLE UUID ’0QH’]

Basi di palle

Per affrontare questi esercizi è necessario conoscere i concetti visti nella Sez. 8.8.

E286

[0QJ]Prerequisiti:2, 2.Mostrate che l’intersezione di due palle è un aperto (secondo la definizione 281). Si ottiene che la famiglia di tutte le palle soddisfa i requisiti (a) e (b) in esercizio 2; dunque, per quanto mostrato in 2, la famiglia delle palle è una base per la topologia che essa genera (che è la topologia associata allo spazio metrico).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0QK’]

E286

[0QM]

Rivediamo l’esercizio 16.

Presi \((X_ 1,d_ 1),\ldots ,(X_ n,d_ n)\) spazi metrici, sia \(X=X_ 1× X_ 1× \cdots × X_ n\).

Sia \(d\) la distanza

\[ d(x,y)=\max _{i=1,\ldots n} d_ i(x_ i,y_ i)~ ~ . \]

Questa è la stessa \(d\) definita come in eqn. ?? in 16, ponendo \(𝜑(x)=\max _{i=1\ldots n}|x_ i|\). Indichiamo con \(B^ d(x,r)\) la palla in \((X,d)\) di centro \(x∈ X\) e raggio \(r{\gt}0\).

Vogliamo mostrare che \(d\) induce la topologia prodotto su \(X\), usando i risultati visti in Sez. 8.8.

Presi \(t∈ X_ i, r{\gt}0\) indichiamo con \(B^{d_ i}(t,r)\) la palla nello spazio metrico \((X_ i,d_ i)\). Sia \({\mathcal B}_ i\) la famiglia di tutte le palle in \((X_ i,d_ i)\).

Sia \(\mathcal B\) definito come

\[ {\mathcal B}=\left\{ ∏_{i=1}^ n B^{d_ i}(x_ i,r_ i) : ∀ i,x_ i∈ X_ i,r_ i{\gt}0\right\} \]

Mostrate che ogni palla \(B^ d(x,r)\) in \((X,d)\) è il prodotto cartesiano delle palle \(B^{d_ i}(x_ i,r)\) in \((X_ i,d_ i)\). Sia dunque \(\mathcal P\) la famiglia delle palle \(B^ d(x,r)\) in \((X,d)\).

Da 1 sappiamo che \(\mathcal P\) è una base per la topologia standard nello spazio metrico \((X,d)\).

Usate 2 per mostrare che \(\mathcal P\) e \({\mathcal B}\) generano la stessa topologia \(𝜏\).

Usate 2 per mostrare che \(𝜏\) è la topologia prodotto.

Se ne conclude che la distanza \(d\) genera la topologia prodotto.

Punti di accumulazione, punti limite

Ridefiniamo questa nozione (caso speciale di quella vista in 250)

L’insieme dei punti di accumulazione di \(A\) si chiama derivato, lo indicheremo con \(D(A)\).

E287

[0QP] Argomenti:punto aderente, punto di accumulazione.

Verificate che

• ogni punto di accumulazione è anche punto aderente, in simboli \(D(A)⊆ \overline A\);

• se un punto aderente a \(A\) non è in \(A\) allora è di accumulazione;

così si ottiene che \(\overline A=A∪ D(A)\). [UNACCESSIBLE UUID ’0QQ’]

[0QR] Dato \(A⊆ X\), un punto \(x∈ X\) è di accumulazione se e solo se esiste una successione \((x_ n)⊆ A\) che è iniettiva e tale che \(\lim _{n→ ∞} x_ n=x\). [0QS]Sia \((X,d)\) spazio metrico, e \(x∈ X\). Mostrate che \(A=\{ x\} \) è chiuso; e che \(A\) ha parte interna vuota se e solo se \(x\) è punto di accumulazione. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0QT’] [0QV]Sia \(A⊆ X\) e sia \(D(A)\) il derivato (cioè l’insieme dei suoi punti di accumulazione). Si mostri che \(D(A)\) è chiuso. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0QW’]

Aggiungiamo questa definizione (caso particolare di 262).

Nella letteratura Inglese questa nozione si traduce “ cluster point” (oppure “accumulation point” il che può creare confusione con la definizione 287).

E288

[0QY] Trovate un esempio di spazio metrico \((X,d)\) e di una successione limitata \((x_ k)_ k⊆ X\) che ha un unico punto limite \(x\) ma che non converge.

Si veda anche 2.

E288

[0QZ] Prerequisiti:2,9.

• Se una successione \((a_ k)_ k⊆ X\) converge a \(x\) allora ha un unico punto limite, che è \(x\).

• Se una successione di Cauchy \((a_ k)_ k⊆ X\) ha un punto limite allora vi è un unico punto limite \(x\) e \(\lim _ k a_ k=x\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0R0’]

E288

[2F3]Argomenti:insieme perfetto.Prerequisiti:1,117,266.Difficoltà:**.

Supponiamo che \((X,d)\) sia uno spazio metrico completo. Un insieme chiuso \(E⊆ X\) senza punti isolati, cioè costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Sia \(C\) l’insieme di Cantor. Sia \(E\) perfetto e non vuoto. Dimostrate che esiste una funzione continua \(𝜑:C→ E\) che è un omeomorfismo con la sua immagine. Questo implica che \(|E|≥ |ℝ|\).

Dunque, in un certo senso, ogni insieme perfetto non vuoto contiene una copia dell’insieme di Cantor.

Questo si può mostrare senza usare l’ipotesi del continuo 117. Cf. 4.

Per via di 4, sarà sufficiente mostrare che esiste una \(𝜑:C→ E\) continua e iniettiva.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2F4’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0R1’]

Altri esercizi su questi argomenti sono 5, 6, 7, 2 e 2.