10.11 Teoremi e categorie di Baire
Vale il seguente teorema della categoria di Baire di cui vi sono vari enunciati equivalenti.
[0VV]Supponiamo che \((X,d)\) sia completo.
Dati numerabili \(A_ n\) aperti densi in \(X\), si ha che \(⋂_ n A_ n\) è denso.
Dati numerabili \(C_ n\) chiusi con parte interna vuota in \(X\), si ha che \(⋃_ n C_ n\) ha parte interna vuota.
- E301
[0VX]Uno spazio metrico \(X\) completo è di seconda categoria in se stesso. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0VY’]
- E301
[0VZ]Posto \(X=ℝ\), l’insieme degli irrazionali è di seconda categoria in \(ℝ\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0W0’]
- E301
[0W1]Si rifletta sulle affermazioni:
Un insieme chiuso \(C\) dentro uno spazio metrico completo \((X,d)\) è un completo (se visto come spazio metrico \((C,d)\)).
L’insieme \(C=\{ 0\} ∪\{ 1/n : n∈ℕ\} \) è un chiuso in \(ℝ\), dunque \(C\) è completo con la distanza \(d(x,y)=|x-y|\).
\(C\) è composto da numerabili punti.
Un singoletto \(\{ x\} \) è un chiuso a parte interna vuota.
Perché non vi è contraddizione?
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0W2’]
- E301
[0W3]Argomenti:insieme perfetto.Prerequisiti:1,117.
Supponiamo che \((X,d)\) sia uno spazio metrico completo. Un insieme chiuso senza punti isolati, cioè costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto. Mostrate che un insieme perfetto non-vuoto \(E\) contenuto in \(X\) deve essere infinito più che numerabile. (Escogitate una dimostrazione semplice che faccia uso del Teorema di Baire 300.)
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2DZ’]
L’insieme di Cantor è un insieme perfetto, si veda 1.