14.3 Funzioni Lipschitziane & Hölderiane[2DR]

Definizione 358

[162] Sia \(A⊂ ℝ\). Una funzione \(f:A→ℝ \) si dice Lipschitziana se esiste \(L{\gt}0\) tale che \(∀ x,y∈ A\),

\[ |f(x)-f(y)|≤ L |x-y|~ ~ . \]

Una funzione \(f:A→ℝ \) si dice Hölderiana se esistono \(L{\gt}0\) e \(𝛼∈ (0,1]\) tale che \(∀ x,y∈ A\),

\[ |f(x)-f(y)|≤ L |x-y|^𝛼~ ~ . \]

La costante \(𝛼\) è detta l’ordine.

Come nel caso della "uniforme continuità", questa nozione si estende alle mappe fra spazi metrici.

E358

[163]Prerequisiti:1.Mostrate che le funzioni Lipschitziane, e le Hölderiane, sono uniformemente continue; che cosa si può dire del loro modulo di continuità?

E358

[164]Sia \(I⊂ ℝ\) intervallo aperto. Sia \(f : I → ℝ\) derivabile. Si mostri che \(f'\) è limitata su \(I\) se e solo se \(f\) è Lipschitziana.

E358

[165]Sia \(I⊂ ℝ\) intervallo. Sia \(f : I → ℝ\) tale che esiste \(α {\gt} 1\) per cui \(∀ x, y, |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|^α\) (cioè \(f\) è Hölderiana di ordine \(𝛼{\gt}1\)): si mostri che f è costante.

E358

[166]Sia data \(f : [a, b] →ℝ\) e una decomposizione di \([a, b]\) in intervallini \(I_ 1 = [a, t_ 1 ], I_ 2 = [t_ 1 , t_ 2 ], \ldots , I_ n = [t_{n-1} , b]\) tale che la restrizione di \(f\) su ciascun \(I_ k\) è Lipschitziana di costante \(C\). Si mostri che \(f\) è Lipschitziana di costante \(C\).

Similmente con le funzioni Hölderiane.

E358

[167]Sia \(f : [a, b] →ℝ\) Hölderiana con esponente \(𝛼 ≤ 1\). Si mostri che f è Hölderiana con esponente \(𝛽\) per ogni \(𝛽 {\lt} 𝛼\).

Si noti che questo non è tecnicamente vero per \(f:ℝ→ℝ\).

E358

[169] Si costruisca \(f : [0, 1] →ℝ\) continua ma non Hölderiana. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’16B’][UNACCESSIBLE UUID ’16C’]

E358

[16D] Una funzione \(f:ℝ^ n→ℝ^ k\) lineare è Lipschitziana.

E358

[16F]Per ognuna delle seguenti funzioni, dire se è continua, uniformemente continua, Hölderiana (e con quale esponente), o Lipschitziana.

  • \(f:(0,1)→ ℝ\), \(f(x)=\sin (1/x)\).

  • \(f:(0,1)→ ℝ\), \(f(x)=x^{1/x}\).

  • \(f:(1,∞)→ ℝ\), \(f(x)=\sin (x^ 2)/x\)

  • \(f:[-1,1]→ℝ\), \(f(x)=|x|^𝛽\) con \(𝛽{\gt}0\).

  • \(f:(0,∞)→ ℝ\), \(f(x)=\sin (x^𝛽)\) con \(𝛽{\gt}0\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’16H’]

E358

[16J] Dato \(L∈(0,1)\) se \(f:ℝ→ℝ\) soddisfa

\[ |f(x)-f(y)|≤ L|x-y|\quad ∀ x,y∈ℝ \]

allora esiste un unico “punto fisso” cioè un punto \(x\) per cui \(f(x)=x\).

E358

[16K] Trovate una funzione \(f:ℝ→ℝ\) tale che

\[ |f(x)-f(y)|{\lt}|x-y|\quad ∀ x,y∈ℝ \]

ma per cui non esiste un “punto fisso”, cioè un punto \(x\) per cui \(f(x)=x\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’16M’]