21 Curve[1NT]

Sia \((X,d)\) uno spazio metrico.

Definizione 415

[1NV] Sia \(I⊆ ℝ\) un intervallo.

Una funzione continua \(𝛾:I→ X\) è detta curva parametrica, o più semplicemente nel seguito curva.
Se \(𝛾\) è iniettiva si dice che la curva è semplice.
Se \(𝛾\) è un omeomorfismo con la sua immagine, si dice che la curva è inclusa, o anche embedded.
Se \(X=ℝ^ n\) e \(𝛾\) è di classe \(C^ 1\) e \(𝛾'(t)≠ 0\) per ogni \(t∈ I\), allora \(𝛾\) è detta una curva immersa o curva regolare. ¹

Chiameremo sostegno o supporto l’immagine \(𝛾(I)\) di una curva.

Si usa anche il termine arco come sinonimo di curva; ² questo termine viene prevalentemente usato quando la curva non è (necessariamente) chiusa.

Rimandiamo lo studio delle curve chiuse alla prossima sezione.

Riportiamo due nozioni di equivalenza di curve. La prima era presente in una versione preliminare delle note [ 3 ] .

Definizione 416

[1NW] Siano \(I,J⊆ {\mathbb {R}}\) intervalli. Siano \(𝛾:I→ X\) e \(𝛿:J→ X\) due curve. Si pone \(𝛾∼𝛿\) se esiste un omeomorfismo ³ crescente \(𝜑:I→ J\) tale che \(𝛾=𝛿◦𝜑\).

La seconda è la definizione 7.5.4 dal capitolo 7 sezione 5 dagli appunti [ 3 ] .

Definizione 417

[1NX] Siano \(I,J⊆ {\mathbb {R}}\) intervalli. Siano \(𝛾:I→{\mathbb {R}}^ n\) e \(𝛿:J→{\mathbb {R}}^ n\) due curve regolari. Si pone \(𝛾≈𝛿\) se esiste un diffeomorfismo ⁴ \(𝜑:I→ J\) monotono crescente, tale che \(𝛾=𝛿◦𝜑\).

E417

[1J8]Prerequisiti:416,417.

Mostrare che la relazione \(𝛾∼𝛿\) è una relazione di equivalenza.

Mostrare che la relazione \(𝛾≈𝛿\) è una relazione di equivalenza.

E417

[1NY]Sia \(A⊆ ℝ^ n\) aperto e sia \(f:A→ℝ\) una funzione. Mostrate che \(f\) è continua se e solo se, per ogni curva \(𝛾:[0,1]→ A\) si ha che \(f◦ 𝛾\) è continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1NZ’]

E417

[1P0] Supponiamo che \(I\) sia un intervallo chiuso e limitato; usate l’esercizio 3 per mostrare che un arco \(𝛾:I\to X\) semplice è un omeomorfismo con la sua immagine, e dunque la curva è “embedded”.

Il risultato è ancora vero se \(I\) non è chiuso? E se \(I\) non è limitato?

E417

[1P1] Prerequisiti:3.Difficoltà:*.

Presa una curva \(𝛾:I→ℝ^ n\) definiamo nel seguito \(\hat I=\{ t∈ℝ:-t∈ I\} \) e \(\hat𝛾:\hat I→ℝ^ n\) tramite \(\hat𝛾(t)=𝛾(-t)\).

Vogliamo mostrare che, in certe ipotesi, due curve hanno lo stesso sostegno se e solo se sono equivalenti.

Siano \(𝛾,𝛿:[0,1]→ℝ^ n\) curve semplici, ma non chiuse, e con lo stesso sostegno. Mostrate che se \(𝛾(0)=𝛿(t)\) allora \(t=0\) oppure \(t=1\). Nel caso \(𝛾(0)=𝛿(0)\), mostrate che \(𝛾∼𝛿\). Se invece \(𝛾(0)=𝛿(1)\) allora \(\hat𝛾∼𝛿\).
Siano \(𝛾,𝛿:[0,1]→ℝ^ n\) curve semplici e immerse, ma non chiuse, e con lo stesso sostegno, e sia \(𝛾(0)=𝛿(0)\): mostrate che \(𝛾≈𝛿\). Se invece \(𝛾(0)=𝛿(1)\) allora \(\hat𝛾≈𝛿\).

(Per il caso di curve chiuse si veda 5)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1P2’]

E417

[1P3] Mostrate che \([0,1]\) e \([0,1]^ 2\) non sono omeomorfi. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1P4’]

E417

[1P5]Prerequisiti:3, 5.Mostrate che non si può trovare una curva \(c:[0,1]\to [0,1]^ 2\) continua e bigettiva; dunque una curve \(c:[0,1]\to [0,1]^ 2\) che è continua e surgettiva, non può essere iniettiva: come ad esempio la curva di Peano o la curva di Hilbert.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1P6’]

E417

[1P7] Note:Bella formula tratta da [ 68 ] .

Sia \(S=S(0,1)⊆ ℝ^ n\) la sfera unitaria \(S=\{ x: |x|=1\} \). Sia \(v,w∈ S\) con \(v≠ w\) e \(v≠ -w\); sia \(T = \arccos ( v⋅ w )\) in modo che \(T∈(0,𝜋)\); quindi la geodetica (cioè la curva di lunghezza minima parametrizzata dall’arco) \(𝛾(t):[0,T]→ S\) che connette \(v\) a \(w\) all’interno \(S\) è

\[ 𝛾(t)=\frac{\sin \big(T-t\big) }{\sin (T)} v + \frac{\sin \big(t\big) }{\sin (T)} w\quad , \]

e la sua lunghezza è \(T\).
(Si può presumere che, quando \(v⋅ w=0\) cioé \(T=𝜋/2\), allora la geodetica è \(𝛾(t) = v \cos (t) + w \sin (t)\)). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1P8’]

[UNACCESSIBLE UUID ’1P9’]