22.6 Equazioni matriciali

Per risolvere i seguenti esercizi bisogna conoscere le proprietà elementari dell’esponenziale di matrici, si veda in sezione 18.3.

E441

[1SW]Prerequisiti:4,3, Sezione  18.3.

Date $A,C\in {ℂ}^{n\times n}$ e $F:ℝ\to {ℂ}^{n\times n}$ funzioni continue a valori matrici, risolvete l’equazione differenziale

$$X^{\prime }=AX+F,X(0)=C,$$

dove $X:ℝ\to {ℂ}^{n\times n}$.

(Sugg.: usate il metodo di variazione delle costanti: sostituite $Y(t)=\exp (-tA)X(t)$)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1SX’]

E441

[1SY]Prerequisiti:4,3, Sez. 18.3.Difficoltà:*.

Date matrici $A,B,C\in {ℂ}^{n\times n}$, risolvete l’equazione differenziale

$$X^{\prime }=AX+XB,X(0)=C,$$

dove $X:ℝ\to {ℂ}^{n\times n}$

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1SZ’]

[UNACCESSIBLE UUID ’1T0’]

[1T1] Prerequisiti:2,2.Difficoltà:*.

Sia $V={ℂ}^{n\times n}$ lo spazio delle matrici, lo dotiamo di una norma $\Vert C{\Vert }_V$ submoltiplicativa. Sia $C\in V$ e siano $A,B:ℝ\to V$ curve continue nello spazio delle matrici.

• Definite ricorsivamente $Q_0=C$, e

  $$Q_{n+1}(s)={\int }_0^{s}A(𝜏)Q_n(𝜏)B(𝜏)\mathbb{d}𝜏;$$

  mostrate che la serie

  $$Y(t)={\sum }_{n=0}^{\infty }{Q}_n(t)$$

  è ben definita, mostrando che, per ogni $T>0$, converge totalmente nello spazio delle funzioni continue $C^0=C^0([-T,T]\to V)$, dotato della norma

  $$\Vert Q{\Vert }_{C^0}\stackrel{.}{=}\underset{|t|\le T}{max}\Vert Q(t){\Vert }_V.$$

• Mostrate che la funzione appena definita è la soluzione dell’equazione differenziale

  $$\frac{d}{dt}Y(t)=A(t)Y(t)B(t),Y(0)=C.$$

• Nel caso in $A,B$ siano costanti, notate che

  $$Y(t)={\sum }_{n=0}^{\infty }{t}^n\frac{A^{n}C{B}^n}{n!}.$$

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1T2’] [1T3] Prerequisiti:2,3.Note:Identità di Abel.

Siano date $C\in {ℂ}^{n\times n}$, $A:ℝ\to {ℂ}^{n\times n}$ continua, e la soluzione $Y(t)$ dell’equazione differenziale

(che è stata studiata in 2). Posto $a(t)=\mathrm{tr}(A(t))$, mostrate che

Se $C$ è invertibile se ne deduce che $Y(t)$ è sempre invertibile.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1T4’]

[UNACCESSIBLE UUID ’1T5’] [1T6]Prerequisiti:4,3,2.

Siano date $C\in {ℂ}^{n\times n}$, $F,A:ℝ\to {ℂ}^{n\times n}$ continue, e la soluzione $Y(t)$ della equazione differenziale

Risolvete la equazione

dove $X:ℝ\to {ℂ}^{n\times n}$, usando $Y(t)$ come funzione ausiliaria.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1T7’]