24.1 Equazioni funzionali
- E443
[1V9] Note:esercizio 1, compito 7 Giugno 2010.
Si dimostri che esiste una e una sola funzione continua \(f\) sull’intervallo \([-1, 1]\) tale che
\[ f(x)=1+\frac{x}{2}f\big(x^ 2\big)\quad ∀ x∈ [-1,1]\quad . \]Si dimostri che \(f\) è rappresentabile come serie di potenze centrata in zero; e che il raggio di convergenza è uno.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1VB’]
- E443
[1VC]Difficoltà:*.Note:eserizio 3, compito 30 Giugno 2017.
Si consideri il problema (non di Cauchy)
\[ \begin{cases} y’(x)=y(x^ 2)\\ y(0)=1 \end{cases} \]Si dimostri che per ogni \(r {\lt} 1\) esiste un’unica soluzione definita su \(I = (−r, r)\) e si deduca che lo stesso vale per \(r = 1\).
Si dimostri che la soluzione è rappresentabile come somma di una serie di potenze centrata in \(0\) e convergente sull’intervallo \([−1, 1]\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1VD’]
- E443
[1VF] Note:esercizio 3 compito 23 Giugno 2012.
Si dimostri che esiste una e una sola funzione \(f\) continua sull’intervallo \([0, 1]\) che soddisfi la condizione
\[ f(x)=\sin (x)+∫_ 0^ 1 \frac{f(t)}{x^ 2+t^ 2+1}\, {\mathbb {d}}t \quad ∀ x∈ [0,1]\quad . \]- E443
[1VG] Note:esercizio 4 compito 23 Giugno 2012.
Una funzione \(f (x) =∑_{n=0}^∞ a_ n x_ n\), analitica in un intorno di 0, soddisfa sul suo dominio le condizioni
\[ \begin{cases} f ’ (x) = 1 + f (−x)\\ f (0) = c \end{cases} \quad ; \](si noti che questo non è un problema di Cauchy!).
Si determini \(f\).
Si dimostri che la funzione trovata è l’unica soluzione, nell’insieme delle funzioni derivabili in un intorno di 0.
- E443
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Mostrate che esiste una unica funzione \(f:(-1,1)→ℝ\) continua che soddisfa
\[ f(x) = x \cos (f(x))~ ~ . \]Fissati \(a,b\) mostrate che esistono un numero finito di \(f:(-a,b)→ℝ\) continue soddisfacenti
\[ f(x) = x \cos (f(x))~ ~ ∀ x∈(a,b). \]
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1VJ’]