EDB — 1T3

Esercizi

1. [1T3] Prerequisiti:[1T1]↺↻,36.Note:Identità di Abel.

   Siano date \(C∈ ℂ^{n× n}\), \(A:ℝ→ℂ^{n× n}\) continua, e la soluzione \(Y(t)\) dell’equazione differenziale

   \[ \frac{d\hskip5.5pt}{d{t}} Y(t) = A(t) Y(t)~ ~ ~ ,~ ~ ~ Y(0)=C \]

   (che è stata studiata in [1T1]↺↻). Posto \(a(t)={\operatorname {tr}}(A(t))\), mostrate che

   \[ \det (Y(t)) = \det (C) e^{∫_ 0^ t a(𝜏)\, {\mathbb {d}}𝜏 } \quad . \]

   Se \(C\) è invertibile se ne deduce che \(Y(t)\) è sempre invertibile.

   Soluzione 1

   [1T4]↺↻

   [ [1T5]↺↻]