13.2 Funzioni regolate[2CT]

(Si noti in particolare che ogni funzione monotona è regolata, e ogni funzione continua è regolata.)

E348

[142] Si mostri che una funzione regolata \(f:[a,b]→ℝ\) è limitata.

E348

[143]Prerequisiti:9. Sia \(I=[a,b]\) intervallo chiuso e limitato. Si mostri che

• \(f:[a,b]→ℝ\) è regolata se e solo se

• per ogni \( \varepsilon {\gt}0\) esiste un insieme finito di punti \(P⊂ I\) tale che, per ogni \(J\subseteq I\), \(J\) intervallo aperto che non contiene alcun punto di \(P\), si ha che l’oscillazione di \(f\) in \(J\) è minore di \(\varepsilon \).

E348

[144] Sia \(V\) l’insieme delle funzioni \(f:[a,b]→ℝ\) costanti a tratti, che è lo spazio vettoriale generato dalle funzioni caratteristiche \({\mathbb 1}_ J\) degli intervalli \(J\subseteq I\). Si mostri che la chiusura di \(V\) secondo la convergenza uniforme coincide con lo spazio delle funzioni regolate.

Dunque lo spazio delle funzioni regolate dotato della norma \(\| ⋅\| _∞\) è uno spazio di Banach.

Si vedano anche gli esercizi 4, 4, 4 e 5.