16 Integrale di Riemann[19K]

La teoria necessaria per lo svolgimento dei successivi esercizi si può trovare nel Cap. 1 in [ 5 ] o Cap. 6 in [ 23 ] .

E373

[19M] Sia \(p\) un polinomio (con coefficienti complessi); sia \(𝜃∈ℂ, 𝜃≠ 0\). Definiamo \(f(x)=-∫_ 0^ x e^{-𝜃 t} p(t)\, {\mathbb {d}}t\). Si mostri che \(f(x)=e^{-𝜃 x}q(x)-q(0)\) dove \(q\) è un polinomio che ha lo stesso grado di \(p\). Si determini la mappa lineare (cioè la matrice) che trasforma i coefficienti di \(p\) nei coefficienti di \(q\); and its inverse.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’19N’][UNACCESSIBLE UUID ’19P’]

E373

[19Q] Note:Simile al punto 8 dall’esercizio 5.Supponiamo che \(f_ n:[a,b]→ℝ\) siano Riemann integrabili, e sia inoltre \(f:[a,b]→ℝ\).

Trovate un esempio in cui \(f_ n→_ n f\) puntualmente, \(f\) è limitata, ma \(f\) non è Riemann integrabile.

Mostrate che, se la convergenza è uniforme, allora \(f\) è Riemann integrabile e

\[ \lim _{n→∞} ∫_ a^ b f_ n\, {\mathbb {d}}x= ∫_ a^ b f\, {\mathbb {d}}x\quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’19R’]

E373

[19S] Prerequisiti:2, 1.

Sia \(I⊂ ℝ\) un intervallo con estremi \(a,b\); siano \(f,f_ n:I→ℝ\) continue non negative tali che \(f_ n(x)↗_ n f\) puntualmente (cioè per ogni \(x\) e \(n\) si ha \(0≤ f_ n(x) ≤ f_{n+1}(x)\) e \(\lim _ n f_ n(x) =f(x)\)); si mostri allora

\[ \lim _{n→∞} ∫_ a^ b f_ n(x)\, {\mathbb {d}}x=∫_ a^ b f(x)\, {\mathbb {d}}x~ ~ . \]

(Nota se l’intervallo è aperto o semiaperto o illimitato allora gli integrali di Riemann si intendono in senso generalizzato; in questo caso il membro destro può anche valere \(+∞\)). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’19T’]

Il precedente risultato prende il nome di Teorema di Convergenza Monotona e vale in ipotesi molto generali; nel caso di integrali di Riemann si può però vedere come conseguenza dei risultati 2 e 1.

E373

[19V]Sia \(f:[a,b]→ℝ\) Riemann integrabile e \(g:ℝ→ℝ\) continua, mostrate che \(g◦ f\) è Riemann integrabile.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’19W’] [UNACCESSIBLE UUID ’19X’]

[19Y]Dire quali di queste funzioni \(f:[0,1]→ℝ\) sono Riemann integrabili:

  1. la funzione caratteristica dell’insieme di Cantor.

  2. \(f(0)=0\), \(f(x)=\sin (1/x)\)

  3. \(f(0)=0\) e

    \[ f(x)=\frac{1-\cos (x)}{x^ 2+|\sin (1/x)|} \]

  4. \(f(x)=0\) se \(x\) è irrazionale, \(f(x)=\cos (1/m)\) se \(x=n/m\) con \(n,m\) primi fra loro. [UNACCESSIBLE UUID ’19Z’]

\(f(x)=0\) se \(x\) è irrazionale, \(f(x)=\sin (1/m)\) se \(x=n/m\) con \(n,m\) primi fra loro.

[1B0]Prerequisiti:teorema fondamentale del calcolo integrale.

Sia \(f:[a,b]→ℝ\) continua e \(g:ℝ→ℝ\) di classe \(C^ 1\), mostrate che

\[ ∫_ a^ b f(g(t)) g'(t) \, {\mathbb {d}}t = ∫_{g(a)}^{g(b)} f(s) \, {\mathbb {d}}s \quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1B2’] Notate che per questo risultato non è necessario ipotizzare che \(g\) sia monotona. [1B3] Prerequisiti:funzioni regolate Sez. 13.2.

Si mostri che una funzione \(f:[a,b]→ℝ\) regolata è Riemann integrabile. [1B4]Prerequisiti:funzioni regolate Sez. 13.2.

Si trovi una funzione Riemann integrabile \(f:[0,1]→ℝ\) che non è regolata.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1B5’] [1B6]Difficoltà:*.Vi può essere una funzione Riemann integrabile \(f:[0,1]→ℝ\) che non è regolata (cioè, non ammette limiti destri e sinistri) in nessun punto? Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1B7’] [1B8]Se \(f,g:[A,B]→ℝ\) sono Riemann integrabili, allora \(h(x)=\max \{ f(x),g(x)\} \) è Riemann integrabile. [1B9]Si trovi una funzione \(f:[0,1]→ℝ\) semicontinua inferiore, limitata, ma non Riemann integrabile.

[UNACCESSIBLE UUID ’1BB’] [1BC]Definiamo la funzione Beta come

\[ B(x,y) = ∫_ 0^ 1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}~ dt~ . \]

  1. Mostrate che l’integrale esiste (finito) se e solo se \(x,y{\gt}0\).

  2. Notate che \(B(x,y)=B(y,x)\)

  3. Mettete in relazione \(B(n,m)\) con \(B(n-1,m+1)\). Calcolate dunque il valore di \(B(n,m)\) per \(n,m\) naturali positivi.

  4. Usate il risultato ottenuto per calcolare

    \[ ∫_ 0^{𝜋/2} \sin (t)^ 9\cos (t)^ 7~ dt~ ~ . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BD’] [1BF] Prerequisiti:funzioni convesse.Sia \(I⊂ℝ\) un intervallo aperto, e \(x_ 0∈ I\). Si dimostri che questi due fatti sono equivalenti:

  1. \(F:I→ℝ\) è convessa.

  2. Esiste \(f:I→ℝ\) monotona (debolmente) crescente, e tale che \(F(x)=F(x_ 0)+∫_{x_ 0}^ x f(s) \, {\mathbb {d}}s\),

e si verifichi che si può scegliere \(f\) essere la derivata destra (o sinistra) di \(F\). [1BG]Si esibisca una funzione \(f :[0,1] →ℝ\) integrabile tale che la derivata della funzione \(F (x) = ∫_ a^ x f (t)dt\) non è \(f\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BH’] [1BJ]Si calcolino esplicitamente 1 formule primitive per

\[ \frac 1{\sin (x)^ 2} ~ ~ ,~ ~ \frac{1}{\sqrt{1+x^ 2}} ~ ~ ,~ ~ \frac{1}{2+\sin (x)}\quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BK’] [1BM]Definiamo la funzione Gamma \(Γ:(0,∞)→ℝ\) come

\[ Γ(x) = ∫_ 0^∞ t^{x-1}e^{-t}\, {\mathbb {d}}t~ . \]

  • Mostrate che \(Γ(x)\) è ben definita per \(x{\gt}0\) reale.

  • Mostrate che \(Γ(x+1)=x Γ(x)\) e deducete che \(Γ(n+1)=n!\) per \(n∈ℕ\).

  • Mostrate che \(Γ(x)\) è analitica.

    (Potete dare per buono che le derivate di \(Γ\) sono \(Γ^{(n)}(x) = ∫_ 0^∞ (\log t)^ n t^{x-1}e^{-t}\, {\mathbb {d}}t\); si ottengono per derivazione sotto segno di integrale.)

[1BN]Calcolate

\[ \lim _{n\to \infty } \frac 1 n + \frac 1{n+1} + \dots +\frac 1{3n} \]

vedendolo come una somma approssimante di un integrale di Riemann. [1BP] Prerequisiti:3.Sia \(a∈ℝ\), sia \(I\) intervallo aperto con \(a∈ I\), sia \(𝜑_ 0:I→ℝ\) continua.

Definiamo ricorsivamente \(𝜑_ n:I→ℝ\) per \(n≥ 1\) tramite \(𝜑_{n}(x)=∫_ a^ x 𝜑_{n-1}(t)\, {\mathbb {d}}t\); si mostri che

\begin{equation} 𝜑_{n+1}(x)=\frac 1{n!} ∫_ a^ x (x-t)^ n𝜑_ 0(t)\, {\mathbb {d}}t \label{eq:multi_ primitiva} \end{equation}
374

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BQ’] [1BR] Prerequisiti:3.Note:See also Apostol [ 4 ] .

Sia \(a∈ℝ\), sia \(I\) intervallo aperto con \(a∈ I\); supponendo che \(f:I→ℝ\) sia di classe \(C^{n+1}\), mostrate la formula di Taylor con resto integrale

\[ f(x) = ∑_{k=0}^ n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^ k + \frac 1{n!} ∫_ a^ x(x-t)^ nf^{(n+1)}(t) \, {\mathbb {d}}t\quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BS’] [1BT] Prerequisiti:1, 4.Sia \(I⊂ ℝ\) un intervallo aperto. Sia \(g:I→ℝ\) Riemann integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato e contenuto in \(I\). Presi \(x,y\in {\mathbb {R}}\) con \(x≠ y\), sia

\[ R(x,y )=\frac 1{y-x}∫_ x^ y g(s)\, {\mathbb {d}}s \]

(con la usuale convenzione che \(∫_ x^ y g(s)\, {\mathbb {d}}s=-∫_ y^ x g(s)\, {\mathbb {d}}s\), in modo che \(R(x,y)=R(y,x)\)). Se \(g\) è monotona, si mostri che \(R(x,y)\) è monotona in ciascuna variabile. Se \(g\) è continua e \(R(x,y)\) è monotona in ciascuna variabile, si mostri che \(g\) è monotona.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BV’] [1BW]Sia \(f:[a,b]→ℝ\) continua e tale che

\[ ∫_ a^ b f(x) g(x)\, {\mathbb {d}}x = 0 \]

per ogni \(g:[a,b]→ℝ\) continua: mostrate allora che \(f≡ 0\). [1BX] Torniamo all’esercizio 3: eseguendo formalmente il prodotto di Cauchy della serie \(∑_{n=1}^∞ \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\) con se stessa, si ottiene la serie \(∑_ n (-1)^ n c_ n\) con \(c_ n = ∑_{k=1}^{n-1} \frac 1{\sqrt{k(n-k)}}\); mostrate che \(c_ n→ 𝜋\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BY’] [1BZ]Difficoltà:*.Sia \(f:ℝ→ℝ\) continua e limitata, mostrate che

\[ \lim _{y→ 0+} \frac y𝜋 ∫_{-∞}^∞ \frac{f(x)}{x^ 2+y^ 2}\, {\mathbb {d}}x = f(0) \]

(Sugg. si cominci dal caso \(f\) costante.) [1C0]Siano \(n,m≥ 1\) interi, e definiamo

\[ I_{n,m} = ∫_ 0^ 1 x^ n (\log x)^ m\, {\mathbb {d}}x\quad : \]

ponete in relazione \(I_{n,m}\) con \(I_{n,m-1}\); usate la relazione per calcolare esplicitamente

\[ ∫_ 0^ 1 x^ n (\log x) ^ n\, {\mathbb {d}}x~ . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C1’] [1C2]Prerequisiti:374.Difficoltà:**.Mostrate le identità

\begin{align} ∫_ 0^ 1 x^{-x}\, dx & = ∑_{n=1}^∞ n^{-n}& & (=\sim 1.291285997\dots ) \\ {} ∫_ 0^ 1 x^ x \, dx & = ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n+1}n^{-n} & & (=\sim 0.783430510712\dots ) \end{align}

(Sugg.: usate lo sviluppo in serie di potenze di \(e^ z\) e ponete \(z=x\log (x)\); usate l’esercizio 374 precedente.) [1C3]Difficoltà:*.Sia \(f:[0,1]→ℝ\) Riemann integrabile e \(𝜑:ℝ→ℝ\) convessa: mostrate che

\begin{equation} \label{eq:dis_ Jensen} 𝜑\left( ∫_ 0^ 1f(x))\, {\mathbb {d}}x\right) ≤ ∫_ 0^ 1𝜑(f(x))\, {\mathbb {d}}x \quad . \end{equation}
377

Questo risultato è noto come diseguaglianza di Jensen. [1C4]Difficoltà:*.Supponiamo che \(f:(0,1)→(0,∞)\) sia continua e decrescente e \(∫_ 0^ 1 f(t)\, {\mathbb {d}}t{\lt}∞\) allora \(\lim _{r→ 0}r f(r)=0\).

Altri esercizi riguardo all’integrazione secondo Riemann si trovano in 6, 2, 5 (parte 8).

  1. Tratto dal libro di Giaquinta e Modica [ 9 ] , pag. 162 e seguenti.