15 Integrale di Riemann[19K]

La teoria necessaria per lo svolgimento dei successivi esercizi si può trovare nel Cap. 1 in [ 5 ] o Cap. 6 in [ 23 ] .

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[19M] Sia $p$ un polinomio (con coefficienti complessi); sia $𝜃 \in ℂ, 𝜃 \neq 0$ . Definiamo $f (x) = - \int_{0}^{x} e^{- 𝜃 t} p (t) d t$ . Si mostri che $f (x) = e^{- 𝜃 x} q (x) - q (0)$ dove $q$ è un polinomio che ha lo stesso grado di $p$ . Si determini la mappa lineare (cioè la matrice) che trasforma i coefficienti di $p$ nei coefficienti di $q$ ; e la sua inversa.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’19N’][UNACCESSIBLE UUID ’19P’]

E372

[19Q] Note:Simile al punto 8 dall’esercizio 5.Supponiamo che $f_{n} : [a, b] \to ℝ$ siano Riemann integrabili, e sia inoltre $f : [a, b] \to ℝ$ .

Trovate un esempio in cui $f_{n} \to_{n} f$ puntualmente, $f$ è limitata, ma $f$ non è Riemann integrabile.

Mostrate che, se la convergenza è uniforme, allora $f$ è Riemann integrabile e

lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} d x = \int_{a}^{b} f d x .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’19R’]

E372

[19S] Prerequisiti:2, 1.

Sia $I \subset ℝ$ un intervallo con estremi $a, b$ ; siano $f, f_{n} : I \to ℝ$ continue non negative tali che $f_{n} (x) ↗_{n} f$ puntualmente (cioè per ogni $x$ e $n$ si ha $0 \leq f_{n} (x) \leq f_{n + 1} (x)$ e $lim_{n} f_{n} (x) = f (x)$ ); si mostri allora

lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x .

(Nota se l’intervallo è aperto o semiaperto o illimitato allora gli integrali di Riemann si intendono in senso generalizzato; in questo caso il membro destro può anche valere $+ \infty$ ). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’19T’]

Il precedente risultato prende il nome di Teorema di Convergenza Monotona e vale in ipotesi molto generali; nel caso di integrali di Riemann si può però vedere come conseguenza dei risultati 2 e 1.

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[19V]Sia $f : [a, b] \to ℝ$ Riemann integrabile e $g : ℝ \to ℝ$ continua, mostrate che $g ◦ f$ è Riemann integrabile.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’19W’] [UNACCESSIBLE UUID ’19X’]

[19Y]Dire quali di queste funzioni

f : [0, 1] \to ℝ

sono Riemann integrabili:

la funzione caratteristica dell’insieme di Cantor.
$f (0) = 0$ , $f (x) = \sin (1 / x)$
$f (0) = 0$ e

$f (x) = \frac{1 - \cos (x)}{x^{2} + | \sin (1 / x) |}$
$f (x) = 0$ se $x$ è irrazionale, $f (x) = \cos (1 / m)$ se $x = n / m$ con $n, m$ primi fra loro. [UNACCESSIBLE UUID ’19Z’]

$f (x) = 0$ se $x$ è irrazionale, $f (x) = \sin (1 / m)$ se $x = n / m$ con $n, m$ primi fra loro.

[1B0]Prerequisiti:teorema fondamentale del calcolo integrale.

Sia $f : [a, b] \to ℝ$ continua e $g : ℝ \to ℝ$ di classe $C^{1}$ , mostrate che

\int_{a}^{b} f (g (t)) g^{'} (t) d t = \int_{g (a)}^{g (b)} f (s) d s .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1B2’] Notate che per questo risultato non è necessario ipotizzare che $g$ sia monotona. [1B3] Prerequisiti:funzioni regolate Sez. 12.2.

Si mostri che una funzione $f : [a, b] \to ℝ$ regolata è Riemann integrabile. [1B4]Prerequisiti:funzioni regolate Sez. 12.2.

Si trovi una funzione Riemann integrabile $f : [0, 1] \to ℝ$ che non è regolata.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1B5’] [1B6]Difficoltà:*.Vi può essere una funzione Riemann integrabile $f : [0, 1] \to ℝ$ che non è regolata (cioè, non ammette limiti destri e sinistri) in nessun punto? Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1B7’] [1B8]Se $f, g : [A, B] \to ℝ$ sono Riemann integrabili, allora $h (x) = max {f (x), g (x)}$ è Riemann integrabile. [1B9]Si trovi una funzione $f : [0, 1] \to ℝ$ semicontinua inferiore, limitata, ma non Riemann integrabile.

[UNACCESSIBLE UUID ’1BB’] [1BC]Definiamo la funzione Beta come

B (x, y) = \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t .

Mostrate che l’integrale esiste (finito) se e solo se $x, y > 0$ .
Notate che $B (x, y) = B (y, x)$
Mettete in relazione $B (n, m)$ con $B (n - 1, m + 1)$ . Calcolate dunque il valore di $B (n, m)$ per $n, m$ naturali positivi.
Usate il risultato ottenuto per calcolare

$\int_{0}^{𝜋 / 2} \sin (t)^{9} \cos (t)^{7} d t .$

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BD’] [1BF] Prerequisiti:funzioni convesse.Sia $I \subset ℝ$ un intervallo aperto, e $x_{0} \in I$ . Si dimostri che questi due fatti sono equivalenti:

$F : I \to ℝ$ è convessa.
Esiste $f : I \to ℝ$ monotona (debolmente) crescente, e tale che $F (x) = F (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} f (s) d s$ ,

e si verifichi che si può scegliere $f$ essere la derivata destra (o sinistra) di $F$ . [1BG]Si esibisca una funzione $f : [0, 1] \to ℝ$ integrabile tale che la derivata della funzione $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ non è $f$ . Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BH’] [1BJ]Si calcolino esplicitamente ¹ formule primitive per

\frac{1}{\sin (x)^{2}}, \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}, \frac{1}{2 + \sin (x)} .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BK’] [1BM]Definiamo la funzione Gamma $Γ : (0, \infty) \to ℝ$ come

Γ (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} e^{- t} d t .

Mostrate che $Γ (x)$ è ben definita per $x > 0$ reale.
Mostrate che $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ e deducete che $Γ (n + 1) = n!$ per $n \in ℕ$ .
Mostrate che $Γ (x)$ è analitica.

(Potete dare per buono che le derivate di $Γ$ sono $Γ^{(n)} (x) = \int_{0}^{\infty} (\log t)^{n} t^{x - 1} e^{- t} d t$ ; si ottengono per derivazione sotto segno di integrale.)

[1BN]Calcolate

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{3 n}

vedendolo come una somma approssimante di un integrale di Riemann. [1BP] Prerequisiti:3.Sia $a \in ℝ$ , sia $I$ intervallo aperto con $a \in I$ , sia $𝜑_{0} : I \to ℝ$ continua.

Definiamo ricorsivamente $𝜑_{n} : I \to ℝ$ per $n \geq 1$ tramite $𝜑_{n} (x) = \int_{a}^{x} 𝜑_{n - 1} (t) d t$ ; si mostri che

𝜑_{n + 1} (x) = \frac{1}{n!} \int_{a}^{x} (x - t)^{n} 𝜑_{0} (t) d t

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Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BQ’] [1BR] Prerequisiti:3.Note:Si veda anche in Apostol [ 4 ] .

Sia $a \in ℝ$ , sia $I$ intervallo aperto con $a \in I$ ; supponendo che $f : I \to ℝ$ sia di classe $C^{n + 1}$ , mostrate la formula di Taylor con resto integrale

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k} + \frac{1}{n!} \int_{a}^{x} (x - t)^{n} f^{(n + 1)} (t) d t .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BS’] [1BT] Prerequisiti:1, 4.Sia $I \subset ℝ$ un intervallo aperto. Sia $g : I \to ℝ$ Riemann integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato e contenuto in $I$ . Presi $x, y \in R$ con $x \neq y$ , sia

R (x, y) = \frac{1}{y - x} \int_{x}^{y} g (s) d s

(con la usuale convenzione che $\int_{x}^{y} g (s) d s = - \int_{y}^{x} g (s) d s$ , in modo che $R (x, y) = R (y, x)$ ). Se $g$ è monotona, si mostri che $R (x, y)$ è monotona in ciascuna variabile. Se $g$ è continua e $R (x, y)$ è monotona in ciascuna variabile, si mostri che $g$ è monotona.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BV’] [1BW]Sia $f : [a, b] \to ℝ$ continua e tale che

\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = 0

per ogni $g : [a, b] \to ℝ$ continua: mostrate allora che $f \equiv 0$ . [1BX] Torniamo all’esercizio 3: eseguendo formalmente il prodotto di Cauchy della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{\sqrt{n}}$ con se stessa, si ottiene la serie $\sum_{n} (- 1)^{n} c_{n}$ con $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{\sqrt{k (n - k)}}$ ; mostrate che $c_{n} \to 𝜋$ .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1BY’] [1BZ]Difficoltà:*.Sia $f : ℝ \to ℝ$ continua e limitata, mostrate che

lim_{y \to 0 +} \frac{y}{𝜋} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{f (x)}{x^{2} + y^{2}} d x = f (0)

(Sugg. si cominci dal caso $f$ costante.) [1C0]Siano $n, m \geq 1$ interi, e definiamo

I_{n, m} = \int_{0}^{1} x^{n} (\log x)^{m} d x :

ponete in relazione $I_{n, m}$ con $I_{n, m - 1}$ ; usate la relazione per calcolare esplicitamente

\int_{0}^{1} x^{n} (\log x)^{n} d x .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C1’] [1C2]Prerequisiti:373.Difficoltà:**.Mostrate le identità

\begin{aligned} \int_{0}^{1} x^{- x} d x & = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- n} & (=\sim 1.291285997 \dots) \\ \int_{0}^{1} x^{x} d x & = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} n^{- n} & (=\sim 0.783430510712 \dots) \end{aligned}

(Sugg.: usate lo sviluppo in serie di potenze di $e^{z}$ e ponete $z = x \log (x)$ ; usate l’esercizio 373 precedente.) [1C3]Difficoltà:*.Sia $f : [0, 1] \to ℝ$ Riemann integrabile e $𝜑 : ℝ \to ℝ$ convessa: mostrate che

𝜑 (\int_{0}^{1} f (x)) d x) \leq \int_{0}^{1} 𝜑 (f (x)) d x .

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Questo risultato è noto come diseguaglianza di Jensen. [1C4]Difficoltà:*.Supponiamo che $f : (0, 1) \to (0, \infty)$ sia continua e decrescente e $\int_{0}^{1} f (t) d t < \infty$ allora $lim_{r \to 0} r f (r) = 0$ .

Altri esercizi riguardo all’integrazione secondo Riemann si trovano in 6, 2, 5 (parte 8).