15.4 Ulteriori proprietà e esercizi

E369

[191]Sia \(C⊂ ℝ^ n\) un convesso, \(f:C→ℝ\) una funzione convessa e \(g:ℝ→ℝ\) una funzione convessa e monotona debolmente crescente: si provi che \(f◦ g\) è convessa.

E369

[192] Sia \(f:[0,∞)→ℝ\) concava, tale che \(f(0)=0\) e \(f\) continua in zero.

  • Si provi che \(f\) è subadditiva, cioè

    \[ f(t)+f(s)≥ f(t+s) \]

    per ogni \(t,s≥ 0\). Se inoltre \(f\) è strettamente concava e \(t{\gt}0\) allora

    \[ f(t)+f(s){\gt} f(t+s)~ . \]

  • Si provi che se \(∀ x, f(x)≥ 0\) allora \(f\) è debolmente crescente.

  • Il viceversa? Trovate un esempio di \(f:[0,∞)→[0,∞)\) con \(f(0)=0\), continua, monotona crescente e subadditiva, ma non concava.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’193’]

E369

[194] Si mostri la disuguaglianza di Young: dati \(a,b{\gt}0\), \(p,q{\gt}1\) tali che \(1/p + 1/q = 1\) allora

\begin{equation} ab≤ \frac{a^ p} p+\frac{b^ q} q\label{eq:dis_ Young} \end{equation}
370

con uguaglianza se e solo se \(a^ p = b^ q\); usando la concavità del logaritmo.

Si veda anche 3. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’195’]

E369

[196] Sia \(𝛼∈ (0,1)\), si mostri che \(x^𝛼\) è \(𝛼\)-Hölderiana (possibilmente usando i risultati precedenti). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’197’]

Si veda anche l’esercizio 376.

Funzione distanza

E370

[198] Argomenti:funzione distanza, insiemi convessi. Prerequisiti:1,1.Sia \(A⊂ ℝ^ n\) chiuso nonvuoto, sia \(d_ A\) la funzione distanza definita nell’ esercizio 1, cioè \(d_ A(x)=\inf _{y∈ A} |x-y|\). Si mostri che \(A\) è un’insieme convesso se e solo se \(d_ A\) è una funzione convessa.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’199’]

E370

[19B] Argomenti:funzione distanza, insiemi convessi. Prerequisiti:1,1.

Dato \(A⊂ ℝ^ n\) convesso chiuso, si definisce la funzione distanza \(d_ A(x)\) come sopra in 1; sia \(z∉ A\) e \(x^*\) la proiezione di \(z\) su \(A\) (cioè il punto di minima distanza nella definizione di \(d_ A(z)\)); posto \(v=(z-x^*)/|z-x^*|\) si mostri che \(v∈∂ f(z)\); dove \(∂ f\) è il sottodifferenziale definito in 5.

Funzioni e insiemi strettamente convessi

E370

[19C] Sia \(C⊂ ℝ^ n\) un convesso, \(f:C→ℝ\) una funzione convessa e \(r∈ℝ\): allora \(\{ x∈ C,f(x){\lt}r\} \) e \(\{ x∈ C,f(x)≤ r\} \) sono insiemi convessi (eventualmente vuoti).

Nota 371

[23N]È vero anche il viceversa: dato \(A⊂ ℝ^ n\) un convesso chiuso, esiste sempre una funzione convessa \(f:ℝ^ n→ℝ\) tale che \(A=\{ x:f(x)≤ 0\} \): ad esempio si può usare \(f=d_ A\), come visto in2 nella sezione precedente.

Ci si chiede ora, cosa accade se \(f\) è strettamente convessa?

Definizione 372

[19D] Un insieme \(A⊂ {\mathbb {R}}^ n\) convesso chiuso è detto strettamente convesso se, per ogni \(x,y∈ A\) con \(x≠ y\) e ogni \(t∈ (0,1)\) si ha

\[ (tx+(1-t)y)∈ {{A}^\circ }\quad . \]

(Notate che un insieme strettamente convesso necessariamente ha parte interna non vuota).

Nota 373

[19F] Dagli esercizi 4 e 5 segue che se \(x∈ {{A}^\circ }\) o \(y∈ {{A}^\circ }\) allora \( (tx+(1-t)y)∈ {{A}^\circ }\): dunque la definizione è “interessante” quando \(x,y∈ ∂ A\).

E373

[19G] Prerequisiti:4.Sia \(f:{\mathbb {R}}^ n→{\mathbb {R}}\) una funzione strettamente convessa e \(r∈{\mathbb {R}}\) allora \(A=\{ x,f(x)≤ r\} \) è un insieme chiuso e strettamente convesso (eventualmente vuoto). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’19H’]

[UNACCESSIBLE UUID ’19J’]