18 Limiti di funzioni[1HQ]

Definizione 404

[2DT]Si consideri un insieme \(A\), una funzione \(f:A\to {\mathbb {R}}\) e una successione di funzioni \(f_ n:A\to {\mathbb {R}}\). Diremo che \(f_ n\) converge a \(f\) puntualmente se

\[ \forall x\in A~ ,~ \lim _{n\to \infty }f_ n(x) = f(x)\quad . \]

Diremo che \(f_ n\) converge a \(f\) uniformemente se

\[ \forall \varepsilon {\gt}0 \exists N\in {\mathbb {N}}, \forall n \ge N,\forall x\in A~ ,~ |f_ n(x) - f(x)|{\lt}\varepsilon \quad . \]

Ulteriori informazioni si possono trovare in Cap. 6 of [ 3 ] , Cap. 11 in [ 5 ] o Cap. 7 of [ 23 ] .

Definizione 405

[1HR] Siano \((X_ 1,d_ 1)\) e \((X_ 2,d_ 2)\) spazi metrici. Sia \(\mathcal F\) una famiglia di funzioni \(f:X_ 1→ X_ 2\), diremo che è una famiglia equicontinua se vale una di queste proprietà equivalenti.

\(∀ \varepsilon {\gt}0\) \(∃𝛿{\gt}0\) \(∀ f∈\mathcal F\)

\[ ∀ x,y∈ X_ 1,~ d_ 1(x,y)≤ 𝛿⇒ d_ 2(f(x),f(y))≤ \varepsilon \quad . \]
Esiste \(𝜔:[0,∞)→ [0,∞]\) una fissata funzione monotona debolmente crescente per cui \(\lim _{t→ 0+}𝜔(t)=𝜔(0)=0\) (che è detta “modulo di continuità” ¹ ) per cui

\begin{equation} ∀ f∈{\mathcal F}, ~ ∀ x,y∈ X_ 1, ~ d_ 2(f(x),f(y))≤ 𝜔\big(d_ 1(x,y)\big)\quad . \label{eq:equicontinua} \end{equation}
406
Esiste \(𝜔:[0,∞)→ [0,∞]\) una fissata funzione continua con \(𝜔(0)=0\) che soddisfa 406.

(Per l’equivalenza fra le ultime due può essere utile 6.)

E406

[1HS] Note:Questo risultato è noto come “lemma del Dini”.
Sia \((X,d)\) uno spazio metrico, sia \(I⊂ X\) un compatto e siano \(f,f_ n:I→ℝ\) continue e tali che \(f_ n(x)↘_ n f(x)\) puntualmente (cioè per ogni \(x∈ I\) e \(n\) si ha \(f(x)≤ f_{n+1}(x) ≤ f_{n}(x)\) e \(\lim _ n f_ n(x) =f(x)\)). Si mostri allora che \(f_ n→ f\) uniformemente.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1HT’]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1HV’]

Negli esercizi successivi vedremo che se anche una sola delle ipotesi viene a mancare, allora esistono controesempi.

E406

[1HW] Trovate un esempio di funzioni \(f_ n:ℝ→ℝ\) continue e limitate e tali che \(f_ n(x)↘_ n 0\) puntualmente, ma non \(f_ n→ 0\) uniformemente.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1HX’]

E406

[1HY]Trovate un esempio di \(f_ n:[0,1]→[0,1]\) continue e limitate e tali che \(f_ n(x)→_ n 0\) puntualmente ma non \(f_ n→ 0\) uniformemente.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1HZ’]

E406

[1J1]Trovate un esempio di funzioni \(f_ n:[0,1]→[0,1]\) continue e limitate e tali che \(f_ n(x)↘_ n f(x)\) puntualmente a \(f:[0,1]→[0,1]\) (cioè per ogni \(x\) e \(n\) si ha \(0≤ f_{n+1}(x) ≤ f_{n}(x)≤ 1\) e \(\lim _ n f_ n(x) =f(x)\)) ma \(f\) non è continua e non si ha convergenza \(f_ n→ f\) uniforme.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1J2’]

E406

[1J3]

Sia \(I⊂ℝ\) un intervallo. Quali di queste classi \(\mathcal F\) di funzioni \(f:I→ℝ\) sono chiuse per convergenza uniforme? Quali sono chiuse per convergenza puntuale?

Le funzioni continue e monotone (debolmente) crescenti su \(I=[0,1]\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1J4’]
Le funzioni convesse su \(I=[0,1]\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1J5’]
Data \(𝜔:[0,∞)→ [0,∞)\) una fissata funzione continua con \(𝜔(0)=0\) (che è detta “modulo di continuità”), sia

\[ {\mathcal F}=\{ f:[0,1]→ℝ ~ :~ ∀ x,y, |f(x)-f(y)|≤ 𝜔(|x-y|)\} \]

(questa è detta una famiglia di funzioni equicontinue, come spiegato nella definizione 405.)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1J6’]
Dato \(N≥ 0\) fissato, la famiglia di tutti i polinomi di grado minore o uguale a \(N\), visti come funzioni \(f:[0,1]→ℝ\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1J7’]
Le funzioni regolate su \(I=[0,1]\). ²

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1J9’]
Le funzioni uniformemente continue e limitate su \(I=ℝ\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JB’]
Le funzioni Hoelderiane su \(I=[0,1]\), cioè

\[ \Big\{ f:[0,1]→ℝ ~ \Big|~ ∃ b{\gt}0,∃𝛼∈(0,1]~ ~ ∀ x,y∈[0,1], |f(x)-f(y)|≤ b |x-y|^𝛼\Big\} \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JC’][UNACCESSIBLE UUID ’1JD’]
Le funzioni Riemann integrabili su \(I=[0,1]\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JF’]

E406

[1JG] Ci chiediamo se le classi precedenti \(\mathcal F\) godono di una “proprietà di rigidità”, cioè se da una convergenza più “debole” nella classe segue una convergenza più “forte”. Dimostrate le seguenti proposizioni.

Siano \(f_ n,f:I→ℝ\) continue e monotone (debolmente) crescenti, definite su un intervallo \(I=[a,b]\) chiuso e limitato. Se vi è un insieme denso \(J\) in \(I\) e con \(a,b∈ J\), per cui \(∀ x∈ J, f_ n(x)→_ n f(x) \), allora \(f_ n→_ nf\) uniformemente. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JH’]
Sia \(A⊆ ℝ\) intervallo aperto. Siano \(f_ n,f:A→ℝ\) convesse su \(A\). Se vi è un insieme \(J\) denso in \(A\) tale che \(∀ x∈ J, f_ n(x)→_ n f(x) \), allora per ogni \([a,b]⊂ A\) si ha che \(f_ n→_ n f\) uniformemente su \([a,b]\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JJ’]
Siano \(f_ n:I→ℝ\) una successione equicontinua di funzioni ³ definite su un intervallo \(I=[a,b]\) chiuso e limitato, e sia \(𝜔\) il loro modulo di continuità. Se vi è un insieme \(J\) denso in \([a,b]\) tale che \(∀ x∈ J, f_ n(x)→_ n f(x) \), allora, \(f\) si estende da \(J\) a \(I\) in modo da essere continua (con modulo \(𝜔\)), e \(f_ n→_ nf\) uniformemente su \([a,b]\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JK’]
Siano \(f_ n,f:I→ℝ\) polinomi di grado minore o uguale a \(N\), visti come funzioni definite su un intervallo \(I=[a,b]\) chiuso e limitato; siano fissati \(N+1\) punti distinti \(a≤ x_ 0{\lt}x_ 1{\lt}x_ 2{\lt}\ldots {\lt}x_ N≤ b\); supponiamo che , per ogni \(x_ i\), \(f_ n(x_ i)→_ n f(x_ i)\): allora \(f_ n\) convergono a \(f\) uniformemente, e così ogni loro derivata \(D^ kf_ n→_ n D^ kf\) uniformemente.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JM’]

Si cerchino inoltre controesempi per simili proposizioni quando applicate alle altre classi di funzioni viste nell’esercizio precedente.

E406

[1JN] Prerequisiti:405, 5 punto 6.Difficoltà:*.

Se \(f_ n,f:I→ℝ\) sono uniformemente continue su un insieme \(I⊂ℝ\), e \(f_ n→_ nf\) uniformemente su \(I\), allora \(f\) è uniformemente continua, e la famiglia \((f_ n)_ n\) è equicontinua.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JP’]

E406

[1JQ]Sia \(f:ℝ→ℝ\) e siano \(g_ t:ℝ→ℝ\) le traslate di \(f\), definite (per \(t∈ℝ\)) da \(g_ t(x)=f(x-t)\). Si mostri che \(g_ t\) tende puntualmente a \(f\) per \(t→ 0\) se e solo se \(f\) è continua; e che \(g_ t\) tende uniformemente a \(f\) per \(t→ 0\) se e solo se \(f\) è uniformemente continua.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JR’]

E406

[1JS] Sia \(I⊂ℝ\) un aperto, sia \(\hat x\) un punto di accumulazione per \(I\) ⁴ , sia \(f_{m}:I→ℝ\) una successione di funzioni limitate che convergono uniformemente a \(f:I→ℝ\) quando \(m→ ∞\). Supponiamo che per ogni \(m\) esista \(\lim _{x→ \hat x} f_{m}(x)\) allora

\[ \lim _{m→ ∞} \lim _{x→\hat x} f_{m}(x)= \lim _{x→\hat x} \lim _{m→ ∞} f_{m}(x) \]

nel senso che se uno dei due limiti esiste allora esiste anche l’altro, e sono uguali. (Il precedente risultato vale anche per limiti destri o limiti sinistri).

Mostrate con un semplice esempio che se il limite non è uniforme allora la precedente uguaglianza non vale.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JT’] (Si veda anche l’esercizio 5).

E406

[1JV]Sia \(I⊂ℝ\) intervallo compatto, siano \(f_ n,f:I→ℝ\) continue. Mostrate che i due seguenti fatti sono equivalenti.

a.: Per ogni \(x∈ X\) e per ogni successione \((x_ n)_ n⊂ I\) per cui \(x_ n→_ n x\) si ha \(\lim _{n→∞} f_ n(x_ n)=f(x)\);
b.: \(f_ n→_ nf\) uniformemente su \(I\).

Trovate indi un esempio dove \(I=[0,1)\), il primo punto vale, ma \(f_ n\) non tende uniformemente a \(f\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JW’]