6.7 Algebrici
[0C7]Un numero \(𝛼∈ℝ\) è detto algebrico se esiste un polinomio \(p(x)=a_ 0+a_ 1x+\cdots + a_ n x^ n\) con coefficienti razionali tale che \(p(𝛼)=0\). In caso contrario \(𝛼\) è detto trascendente.
[0C8]Dato un anello commutativo \(A\), l’insieme dei polinomi \(p(x)=a_ 0+a_ 1x+\cdots + a_ n x^ n\) con coefficienti \(a_ i∈ A\) è usualmente denotato da \(A[x]\); questo insieme, dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto di polinomi, è un anello commutativo.
- E210
[0C9]Dato \(p(x)=a_ 0+a_ 1x+\cdots + a_ n x^ n\), \(p∈ℚ[z]\) tale che \(p(𝛼)=0\), si costruisca un \(q∈ℤ[z]\) tale che \(q(𝛼)=0\).
Dunque la definizione di algebrico si può dare equivalentemente con i polinomi a coefficienti interi.
- E210
[0CB]Dato \(𝛼≠ 0\) e \(p(x)=a_ 0+a_ 1x+\cdots + a_ n x^ n\), \(p∈ℚ[z]\) tale che \(p(𝛼)=0\), si costruisca un \(q∈ℚ[z]\) tale che \(q(1/𝛼)=0\).
Dunque se \(𝛼≠ 0\) è algebrico allora \(1/𝛼\) è algebrico.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0BR’]
- E210
[0CC]Dato \(p(x)=a_ 0+a_ 1x+\cdots + a_ n x^ n\), \(p∈ℚ[z]\) tale che \(p(𝛼)=0\), dato \(b∈ℚ\) si costruisca un \(q∈ℚ[z]\) tale che \(q(b𝛼)=0\).
Dunque se \(𝛼\) è algebrico allora \(b𝛼\) è algebrico.
- E210
[0CD]Dato \(p(x)=a_ 0+a_ 1x+\cdots + a_ n x^ n\), \(p∈ℚ[z]\) tale che \(p(𝛼)=0\), dato \(b∈ℚ\) si costruisca un \(q∈ℚ[z]\) tale che \(q(b+𝛼)=0\).
Dunque se \(𝛼\) è algebrico allora \(b+𝛼\) è algebrico.
- E210
[0CF]Difficoltà:*.Più in generale, dati \(p(x)=a_ 0+a_ 1x+\cdots + a_ n x^ n\), \(p∈ℚ[z]\) \(q(x)=b_ 0+b_ 1x+\cdots + b_ m x^ m\), \(q∈ℚ[z]\), e date \(𝛼,𝛽\) tali che \(p(𝛼)=0=q(𝛽)\), si costruisca un polinomio \(r∈ ℚ[z]\) tale che \(r(𝛼+𝛽)=0\).
(Sugg. si usi la teoria del risultante [ 48 ] ).
Dunque se \(𝛼,𝛽\) sono algebrici allora \(𝛼+𝛽\) è algebrico.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0CG’]
- E210
[0CH]Si mostri che se \(𝛼\) è algebrico allora \(𝛼^ 2\) è algebrico. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0CJ’]
- E210
[0CK]Se \(𝛼,𝛽\) sono algebrici si mostri che \(𝛼𝛽\) è algebrico. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0CM’]