6.1 Intorni[29H]

(Svolto il 2022-11-24)

Gli intorni sono una famiglia di insiemi associata a un punto \(x_ 0∈ℝ\), oppure a \(x_ 0=±∞\). Gli intorni sono insiemi che contengono un insieme “esempio”. Vediamo qui alcune definizioni.

Definizione 174 Intorni

[0B2] Gli intorni “bucati” di punti \(x_ 0∈ℝ\) si dividono in tre classi.

  • Intorni di \(x_ 0∈ℝ\), che contengono un insieme del tipo \((x_ 0-𝛿,x_ 0)∪(x_ 0,x_ 0+𝛿)\) per un \(𝛿{\gt}0\);

  • intorni destri di \(x_ 0∈ℝ\) , che contengono un insieme del tipo \((x_ 0,x_ 0+𝛿)\) per un \(𝛿{\gt}0\);

  • intorni sinistri di \(x_ 0∈ℝ\) , che contengono un insieme del tipo \((x_ 0-𝛿,x_ 0)\) per un \(𝛿{\gt}0\);

in ogni caso gli intorni “bucati” non devono contenere il punto \(x_ 0\). Gli intorni “pieni” si ottengono aggiungendo \(x_ 0\). Gli “intorni pieni” sono la base per la topologia standard su \(ℝ\).

Ai precedenti aggiungiamo poi gli intorni di \(±∞\):

  • intorni di \(∞\) , che contengono un insieme del tipo \((y,∞)\) al variare di \(y∈ℝ\);

  • intorni di \(-∞\) , che contengono un insieme del tipo \((-∞,y)\) al variare di \(y∈ℝ\);

in questo caso non distinguiamo intorni “bucati” e intorni “pieni”.

(Nella letteratura Inglese gli intorni bucati si chiamano “deleted neighbourhoods” o “punctured neighbourhoods”).

Esercizio 175

[29J]Prerequisiti:53.Difficoltà:*.(Proposto il 2022-11-24) Sia \(x_ 0\in \overline{{\mathbb {R}}}\) e siano \(\mathcal F\) tutti gli intorni di \(x_ 0\). Associamo l’ordinamento

\[ I,J\in {\mathcal F}~ ~ , I\le J \iff I\supseteq J \]

mostrate che l’ordinamento è filtrante.

(Questo vale sia per intorni “bucati” che “pieni”; sia per “destri” che ”sinistri” e “bilaterali”).

(Si veda anche 8 per un simile enunciato in spazi topologici).