7.2 Successioni definite per ricorrenza

E216

[0DK]Siano \(f(x)=x-x^ 3\) e \(x_ 0∈{\mathbb {R}}\), e \((x_ n )_{n∈{\mathbb {N}}}\) una successione definita per ricorrenza da \(x_{n+1}=f(x_ n)\). Si dimostri che esiste un \(𝜆{\gt}0\) tale che se \(|x_ 0|{\lt}𝜆\) allora \(x_ n→ 0\), mentre se \(|x_ 0|{\gt}𝜆\) allora \(|x_ n|→ ∞\); e possibilmente si calcoli questo \(𝜆\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0DM’]

E216

[0DN]Note:metodo Babilonese per la radice quadrata. Sia \(S{\gt}0\) e consideriamo la successione definita per ricorrenza da

\[ x_{n+1} = \frac 1 2 \left( x_ n + \frac{S}{x_ n} \right) \quad ; \]

mostrate che \(x_ n→ \sqrt S\) e che, per \(S∈ [1/4,1]\) e \(x_ 0=1\), la convergenza è superquadratica, cioè

\[ \left| x_ n-\sqrt{S} \right| ≤ 2^{1-2^ n }\quad . \]

Trovate una funzione \(f(x)\) (dipendente da \(S\) ) tale che la precedente iterazione si possa vedere come un metodo di Newton, cioè

\[ x - \frac{f(x)}{f'(x)} = \frac 1 2 \left( x + \frac{S}{x} \right). \]

Generalizzate il metodo Babilonese per trovare una radice \(\sqrt[k]{S}\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0DP’]