14.3 Caso reale

Sia $I\subset ℝ$, allora $I$ è convesso se e solo è un intervallo (si veda 1). Nel seguito considereremo $f:I\to ℝ$ dove $I=(a,b)$ è un intervallo aperto.

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[18F] Si mostri che $f(x)$ è convessa se e solo se la mappa $R(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ è monotona debolmente crescente in $x$. ¹ Inoltre $f$ è strettamente convessa se e solo se $R$ è strettamente crescente. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18G’]

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[18H]Si mostri che per una funzione convessa $f:(a,b)\to ℝ$ vi sono solo tre possibilità:

• $f$ è strettamente crescente

• $f$ è strettamente decrescente

• vi sono due valori $l_{-}\le l_{+}$ tale che $f$ è strettamente crescente in $[l_{+},b)$, $f$ è strettamente decrescente in $(a,l_{-}]$, e l’intervallo $[l_{-},l_{+}]$ sono tutti i punti di minimo di $f$;

se inoltre $f$ è strettamente convessa allora vi è al più un solo punto di minimo.

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[18J]Sia $f:(a,b)\to ℝ$ convessa. Si mostri che per ogni intervallo chiuso $I\subset (a,b)$ esiste una costante $C$ tale che $f{|}_I$ risulta Lipschitziana con costante $C$. Si mostri un esempio di funzione continua e convessa definita su un intervallo chiuso che non è Lipschitziana.

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[18K]Si mostri che una funzione continua $f:(a,b)\to ℝ$ è convessa se e soltanto se per ogni $u,v\in (a,b)$ si ha

$$f\left(\frac{u+v}{2}\right)\le \frac{f(u)+f(v)}{2}.$$

Convessità e derivate

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[18M] Prerequisiti:1.Sia $f:(a,b)\to ℝ$ convessa.

1. Si mostri che in ogni punto esistono la derivata destra $d^{+}(x)$ e sinistra $d^{-}(x)$ (In particolare $f$ è continua).

2. Si mostri che $d^{-}(x)\le d^{+}(x)$,

3. mentre per $x<y$ si ha $d^{+}(x)\le R(x,y)\le d^{-}(y)$.

4. Si deduca che $d^{+}(x)$ e $d^{-}(x)$ sono monotone debolmente crescenti.

5. Si mostri che $d^{+}(x)$ è continua a destra, mentre $d^{-}(x)$ è continua a sinistra.

6. Inoltre si mostri che $\underset{s\to x-}{lim}{d}^{+}(s)=d^{-}(x)$, mentre $\underset{s\to x+}{lim}{d}^{-}(s)=d^{+}(x)$. In particolare $d^{+}$ è continua in $x$ se e solo se $d^{-}$ è continua in $x$ se e solo se $d^{-}(x)=d^{+}(x)$.

   Dunque $d^{+},d^{-}$ sono, per così dire, la stessa funzione monotona, solo che nei punti di discontinuità $d^{+}$ assume il valore dei limiti destri mentre $d^{-}$ il valore dei limiti sinistri.

7. Usate il precedente per mostrare che $f$ è derivabile in $x$ se e solo se $d^{+}$ è continua in $x$, se e solo se $d^{-}$ è continua in $x$.

8. Si mostri dunque che $f$ è derivabile salvo che in un numero al più numerabile di punti.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18N’]

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[18P] Prerequisiti:1.Se $f:(a,b)\to ℝ$ è derivabile, allora $f$ è convessa se e solo se $f^{\prime }$ è debolmente crescente. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18Q’]

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[18R] Prerequisiti:1,2.Se $f:(a,b)\to ℝ$ è derivabile, allora $f$ è strettamente convessa se e solo se $f^{\prime }$ è strettamente crescente. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18S’]

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[18T] Prerequisiti:1, 2.Se $f:(a,b)\to ℝ$ è derivabile due volte, allora $f$ è convessa se e solo se $f^{″}\ge 0$ in ogni punto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18V’]

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[18W] Prerequisiti:4.

Sia $J\subset ℝ$ intervallo aperto non vuoto, e $f:J\to ℝ$ derivabile due volte e convessa. Si mostri che i seguenti fatti sono equivalenti:

1. $f$ è strettamente convessa,

2. l’insieme $\{x\in J:f^{″}(x)=0\}$ ha parte interna vuota,

3. $f^{\prime }$ è monotona strettamente crescente.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18X’]

Si veda anche l’ esercizio 4 per il rapporto fra integrale e convessità.

Funzioni convesse a valori estesi

Consideriamo funzioni convesse che possono anche assumere valore $+\infty .$ Sia $I$ un intervallo.

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[18Y]Sia $f:I\to ℝ\cup \{\infty \}$ convessa, si mostri che $J=\{x\in I:f(x)<\infty \}$ è un intervallo.

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[18Z]Note:un altro viceversa del 2.

Fissato $I\subseteq ℝ$ intervallo e data $f:I\to ℝ\cup \{\infty \}$ convessa e semicontinua inferiore, esistono successioni $a_n,b_n\in ℝ$ tali che $f(x)=\underset{n}{sup}(a_n+b_{n}x)$.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’190’]