: Equazioni funzionali

23.1 Equazioni funzionali

E442

[1V9] Note:esercizio 1, compito 7 Giugno 2010.

Si dimostri che esiste una e una sola funzione continua $f$ sull’intervallo $[- 1, 1]$ tale che

f (x) = 1 + \frac{x}{2} f (x^{2}) \forall x \in [- 1, 1] .

Si dimostri che $f$ è rappresentabile come serie di potenze centrata in zero; e che il raggio di convergenza è uno.

E442

[1VC]Difficoltà:*.Note:eserizio 3, compito 30 Giugno 2017.

Si consideri il problema (non di Cauchy)

{\begin{cases} y^{'} (x) = y (x^{2}) \\ y (0) = 1 \end{cases}

Si dimostri che per ogni $r < 1$ esiste un’unica soluzione definita su $I = (- r, r)$ e si deduca che lo stesso vale per $r = 1$ .
Si dimostri che la soluzione è rappresentabile come somma di una serie di potenze centrata in $0$ e convergente sull’intervallo $[- 1, 1]$ .

E442

[1VF] Note:esercizio 3 compito 23 Giugno 2012.

Si dimostri che esiste una e una sola funzione $f$ continua sull’intervallo $[0, 1]$ che soddisfi la condizione

f (x) = \sin (x) + \int_{0}^{1} \frac{f (t)}{x^{2} + t^{2} + 1} d t \forall x \in [0, 1] .

E442

[1VG] Note:esercizio 4 compito 23 Giugno 2012.

Una funzione $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x_{n}$ , analitica in un intorno di 0, soddisfa sul suo dominio le condizioni

{\begin{cases} f^{'} (x) = 1 + f (- x) \\ f (0) = c \end{cases};

(si noti che questo non è un problema di Cauchy!).

Si determini $f$ .
Si dimostri che la funzione trovata è l’unica soluzione, nell’insieme delle funzioni derivabili in un intorno di 0.

E442

[1VH]

Mostrate che esiste una unica funzione $f : (- 1, 1) \to ℝ$ continua che soddisfa

$f (x) = x \cos (f (x)) .$
Fissati $a, b$ mostrate che esistono un numero finito di $f : (- a, b) \to ℝ$ continue soddisfacenti

$f (x) = x \cos (f (x)) \forall x \in (a, b) .$