: Limiti<a class="btn btn-sm" href="/UUID/EDB/29N/?lang=ita"><span class="ttfamily"><small class="scriptsize">[29N]</small></span></a>

5.4 Limiti[29N]

Scriveremo $\overset{―}{ℝ}$ per $ℝ \cup {\pm \infty}$ .

Definizione 188

[20D]Sia $I \subset ℝ$ , $x_{0} \in \overset{―}{ℝ}$ punto di accumulazione di $I$ , $f : I \to ℝ$ funzione, $l \in \overset{―}{ℝ}$ .

L’idea di limite (destro o sinistro o bilaterale) è così espressa.

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = l$

per ogni intorno $V$ “pieno” di $l$ , esiste intorno $U$ “bucato” di $x_{0}$ tale che per ogni $x \in U \cap I$ , si ha $f (x) \in V$

dove l’intorno $U$ sarà destro o sinistro se il limite è destro o sinistro; si può anche dire che

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = l$

per ogni intorno $V$ “pieno” di $l$ , si ha $f (x) \in V$ definitivamente per $x$ tendente a $x_{0}$

aggiungendo che $x > x_{0}$ se il limite è destro, oppure $x < x_{0}$ se il limite è sinistro.

Scriviamo ora esplicitamente queste idee.

Proposizione 189

[0BH] Sia $I$ un insieme, $x_{0} \in ℝ$ punto di accumulazione per $I$ , $f : I \to ℝ$ funzione, $l \in ℝ$ .

Mettendo insieme tutte le definizioni viste precedentemente, otteniamo queste definizioni di limite.

Nel caso $x_{0} \in ℝ$ e $l \in ℝ$ :

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = l$	$\forall ε > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x \neq x_{0}, x \in I \Rightarrow \| f (x) - l \| < ε$
$lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = l$	$\forall ε > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x > x_{0}, x \in I \Rightarrow \| f (x) - l \| < ε$
$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = l$	$\forall ε > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x < x_{0}, x \in I \Rightarrow \| f (x) - l \| < ε$

Sia $x_{0} \in ℝ$ , $l = \pm \infty$ .

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x \neq x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) > z$
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = - \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x \neq x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) < z$
$lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x > x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) > z$
$lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = - \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x > x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) < z$
$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x < x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) > z$
$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = - \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x < x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) < z$

Sia $l \in ℝ$ , $x_{0} = \pm \infty$ .

$lim_{x \to \infty} f (x) = l$	$\forall ε > 0, \exists y, \forall x, x > y, x \in I \Rightarrow \| f (x) - l \| < ε$
$lim_{x \to - \infty} f (x) = l$	$\forall ε > 0, \exists y, \forall x, x < y, x \in I \Rightarrow \| f (x) - l \| < ε$
$lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$	$\forall z, \exists y, \forall x, x > y, x \in I \Rightarrow f (x) > z$
$lim_{x \to - \infty} f (x) = \infty$	$\forall z, \exists y, \forall x, x < y, x \in I \Rightarrow f (x) > z$
$lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$	$\forall z, \exists y, \forall x, x > y, x \in I \Rightarrow f (x) < z$
$lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$	$\forall z, \exists y, \forall x, x < y, x \in I \Rightarrow f (x) < z$

Nota 190

[0BJ]Si noti che se si sostituisce $f \mapsto - f$ , si passa dalle definizioni con $l = \infty$ a quelle del $l = - \infty$ (e viceversa). Un’altra simmetria si ottiene scambiando $x_{0} \to - x_{0}$ e gli intorni destri e sinistri.