19.1 Somma e prodotto, composizione e inversa[2D6]
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[1KQ]Prerequisiti:2.Consideriamo le serie di potenze
\[ f(x)=∑_{n=0}^∞ a_ n x^ n ~ ~ ,~ ~ g(x)=∑_{m=0}^∞ b_ m x^ m~ , \]con raggio di convergenza non nullo, rispettivamente \(r_ f\) e \(r_ g\).
Si mostri che la funzione prodotto \(h(x)=f(x)g(x)\) si può esprimere in serie di potenze
\[ h(x)=∑_{k=0}^∞ c_ k x^ k \]dove
\[ c_ k = ∑_{j=0}^ k a_ j b_{k-j}~ ; \]con raggio di convergenza \(r_ h≥\min \{ r_ f, r_ g\} \). (Si noti la somiglianza con il prodotto di Cauchy, discusso in sezione ??)
Può succedere che \(r_ h{\gt}\min \{ r_ f, r_ g\} \)?
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1KR’]
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[1KS]Prerequisiti:1.Difficoltà:*.Sia \(g(z)=∑_{m=0}^∞ b_ m z^ m\) con \(b_ 0=g(0)≠ 0\): si esprima formalmente la funzione reciproca \(f(x)=1/g(x)\) come serie di potenze e si calcolino i coefficenti a partire dai coefficienti \(b_ m\); se il raggio di convergenza di \(g\) è non nullo si mostri che il raggio di convergenza di \(f\) è non nullo e che \(f(x)=1/g(x)\) laddove le due serie \(f(x),g(x)\) convergono. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1KT’]
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[1KV]Prerequisiti:2,3.Difficoltà:*.
Consideriamo le serie di potenze
\[ f(x)=∑_{n=0}^∞ a_ n x^ n ~ ~ ,~ ~ g(x)=∑_{m=0}^∞ b_ m x^ m~ , \]con raggio di convergenza non nullo, rispettivamente \(r_ f\) e \(r_ g\). Supponiamo che \(g(0)=0=b_ 0\). Siano \(I_ f,I_ g⊂ ℂ\) dischi centrati in zero con raggi minori rispettivamente di \(r_ f\) e \(r_ g\): le precedente serie dunque definiscono funzioni \(f:I_ f→ℂ\) e \(g:I_ g→ℂ\). A meno di rimpicciolire \(I_ g\), assumiamo che \(g(I_ g)⊂ I_ f\).
Si mostri che la funzione composta \(h=f◦ g:I_ g→ℂ\) si può esprimere come serie di potenze \(h(x)=∑_{k=0}^∞ c_ k x^ k \) (con raggio di convergenza almeno \(r_ g\)); si mostri come i coefficienti \(c_ k\) possono essere calcolati dai coefficienti \(a_ k,b_ k\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1KW’][UNACCESSIBLE UUID ’1KX’][UNACCESSIBLE UUID ’1KY’]
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[1KZ] Difficoltà:*.Sia \(g(z)=∑_{m=0}^∞ b_ m z^ m\) con raggio di convergenza non nullo \(r_ g\). Sia \(I_ g⊂ ℂ\) un disco centrato in zero di raggio minore di \(r_ g\); abbiamo dunque definito una funzione \(g:I_ g→ℂ\). assumiamo \(g(0)=0\) e \(g'(0)≠ 0\); Assumendo che l’inversa \(f(y)=g^{-1}(y)\) si possa esprimere in serie di Taylor \(f(x)=∑_{n=0}^∞ a_ n x^ n\), calcolate i coefficienti della serie di \(f\) partendo da quelli di \(g\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1M0’]
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[1M1] Prerequisiti:4.Difficoltà:**.
Definendo \(f(x)=∑_{n=0}^∞ a_ n x^ n\) dove i coefficienti \(a_ n\) sono stati ricavati nel precedente esercizio 4, si provi a mostrare che il raggio di convergenza \(f\) è positivo. 1