19 Serie di potenze[1K6]
La teoria necessaria per lo svolgimento dei successivi esercizi si può trovare nel Cap. 6 di [ 3 ] , Sez. 11.6 in [ 5 ] o Cap. 8 di [ 23 ] .
- E406
[1K7] Una serie di potenze \(∑_{k=0}^∞ a_ k x^ k\) ha raggio di convergenza positivo se e solo se se esiste \(ℓ {\gt}0\) per cui \(|a_ k|≤ ℓ ^ k\) per ogni \(k≥ 1\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1K8’]
- E406
[1K9] Siano \(c_ k\) numeri complessi, e \(a_ k=|c_ k|\); si noti che le serie di potenze \(∑_{k=0}^∞ a_ k z^ k\) e \(∑_{k=0}^∞ c_ k z^ k\) hanno lo stesso raggio di convergenza \(R\).
Posta, per \(t{\gt}0\) reale \(\tilde f(t)=∑_{k=0}^∞ a_ k t^ k\), si noti che questa formula definisce una funzione monotona \(\tilde f:[0,∞)→ [0,∞]\); si mostri che il raggio di convergenza \(R\) coincide con l’estremo superiore dei \(t≥ 0\) per cui \(\tilde f(t){\lt}∞\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1KB’] Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1KC’]
- E406
[1KD]Prerequisiti:3.Data \( f(t)=∑_{k=0}^∞ a_ k t^ k\) con \(a_ k≥ 0\) e con il raggio di convergenza \(r{\gt}0\), dimostrate che \(\lim _{t→ r-}f(t)=f(r)\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1KF’]
- E406
[1KG]Trovate due esempi di serie \( f(t)=∑_{k=0}^∞ a_ k t^ k\) con \(a_ k{\gt}0\) e con raggio di convergenza \(r\) positivo e finito, per cui
\(f(r){\lt}∞\)
\(f(r)=∞\)
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1KH’]
- E406
[1KJ]Trovate un esempio di serie \(f(t)=∑_{k=0}^∞ a_ k t^ k\) con \(a_ k∈ℝ\) e con raggio di convergenza \(r\) positivo e finito, per cui esiste finito il limite \(\lim _{t→ r-} f(t)\), ma la serie non converge in \(t=r\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1KK’]
Notate che (per il Lemma di Abel) se la serie converge in \(t=r\) allora esiste il limite \(\lim _{t→ r-} f(t)=f(r)\).
- E406
[1KM]Siano \(b∈ℝ\), \(n∈ℕ\). Supponendo che \(f(t)=∑_{k=0}^∞ a_ k t^ k\) con raggio di convergenza \(r\) positivo e \(t∈(-r,r)\), si determinino i coefficienti \(a_ k\) in modo da soddisfare le seguenti equazioni differenziali.
\(f'(t)=f(t)\) e \(f(0)=b\),
\(f'(t)=t^ 2 f(t)\) e \(f(0)=b\),
\(f''(t)=t^ 2 f(t)\) e \(f(0)=b,f'(0)=0\),
\(t f''(t) + f'(t) + t f(t)=0\) e \(f(0)=b,f'(0)=0\),
\(t^ 2 f''(t) + t f'(t) + (t^ 2-m^ 2)f(t)=0\) \(m≥ 2\) intero, \(f(0)=f'(0)=\ldots f^{(m-1)}=0\), e \(f^{(m)}=b\).
(Le ultime due sono dette Equazioni di Bessel). [UNACCESSIBLE UUID ’1KN’]