7.6 Reti[2B6]

Useremo i concetti di ordinamento diretto, ordinamento filtrante e insieme cofinale già discussi in Sez. ??. Sia nel seguito $(Y,\sigma )$ uno spazio topologico Hausdorff.

La definizione di definitivamente è in 62, e significa che esiste $k\in J$ tale che per ogni $j\ge k$ si ha $\phi (j)\in V$.

Anche in questo case vale quanto discusso nella nota 235.

E261

[0K5] Prerequisiti:3.Sia $J$ un insieme diretto ma non filtrante; allora sia $m\in J$ il suo massimo (che esiste per quanto visto in 3); se definiamo $\underset{j\in J}{lim}\phi (x)$ come in 260, mostrate che il limite esiste sempre e vale $\phi (m)$.

E261

[0K6]Sia $(Y,\sigma )$ spazio topologico Hausdorff, sia $A\subseteq Y$. Si mostri che $\bar{A}$ coincide con l’insieme di tutti i possibili limiti di reti $\phi :J\to A$ (al variare della scelta di $J$ e poi di $\phi$).

E261

[0K7]Sia $(Y,\sigma )$ spazio topologico Hausdorff, sia $A\subseteq Y$. Si mostri che $x\in Y$ è punto di accumulazione per $A$ se e solo se esiste un $J$ insieme filtrante e esiste una rete $\phi :J\to A⧵\{x\}$ tale che $\underset{j\in J}{lim}\phi (x)=x$.

E261

[2B7]Prerequisiti:58,237.Difficoltà:**.

Sia $(Y,\sigma )$ uno spazio topologico Hausdorff. Sia $J$ un insieme filtrante e $x:J\to Y$ una rete in $Y$. Per ogni $\alpha \in J$ definiamo $E_{𝛼}\stackrel{.}{=}\{x_{𝛽}:𝛽\in J,𝛽\ge 𝛼\}$ e

$$E={\bigcap }_{𝛼\in J}\overline{E_{𝛼}}$$

Mostrate che $E$ coincide con l’insieme $L$ dei punti limite (definito in 261).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2FK’]

E261

[0K8] Prerequisiti:58,237,4.Difficoltà:**.

Sia $(Y,\sigma )$ uno spazio topologico Hausdorff. Mostrate che $Y$ è compatto se e solo se ogni rete a valori in $Y$ ammette una sottorete convergente.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0K9’]