7.6 Reti[2B6]
Useremo i concetti di ordinamento diretto, ordinamento filtrante e insieme cofinale già discussi in Sez. ??. Sia nel seguito \((Y, σ)\) uno spazio topologico Hausdorff.
[0K4] Sia \((Y, σ)\) spazio topologico Hausdorff. Sia \((J,≤)\) un insieme con ordinamento filtrante (definita in 53). Sia \(φ:J→ Y\) una rete (già incontrata in Sez. 6.4).
Si pone \(\lim _{j∈ J} φ(x) = ℓ ∈ Y\) se e solo se, per ogni intorno \(V\) di \(ℓ\) in \(Y\) si ha che \(φ(j)∈ V\) definitivamente per \(j∈ J\).
Anche in questo case vale quanto discusso nella nota 235.
[2B4] Data una rete \(x:J\to Y\), un punto \(z∈ Y\) si dice punto limite per \(x\) se esiste una sottorete \(y:H\to Y\) tale che \(\lim _{j\in H} y(j)=z\).
(Notate che “sottorete” si intende come nel caso generale visto alla fine di 237, dove \(y=x\circ i\) per mezzo di una mappa \(i:H\to J\) che soddisfa ??).
- E261
[0K5] Prerequisiti:3.Sia \(J\) un insieme diretto ma non filtrante; allora sia \(m∈ J\) il suo massimo (che esiste per quanto visto in 3); se definiamo \(\lim _{j∈ J} φ(x)\) come in 260, mostrate che il limite esiste sempre e vale \(φ(m)\).
- E261
[0K6]Sia \((Y, σ)\) spazio topologico Hausdorff, sia \(A⊆ Y\). Si mostri che \(\overline A\) coincide con l’insieme di tutti i possibili limiti di reti \(φ:J→ A\) (al variare della scelta di \(J\) e poi di \(φ\)).
- E261
[0K7]Sia \((Y, σ)\) spazio topologico Hausdorff, sia \(A⊆ Y\). Si mostri che \(x∈ Y\) è punto di accumulazione per \(A\) se e solo se esiste un \(J\) insieme filtrante e esiste una rete \(φ:J→ A⧵\{ x\} \) tale che \(\lim _{j∈ J} φ(x) = x\).
- E261
[2B7]Prerequisiti:58,237.Difficoltà:**.
Sia \((Y,\sigma )\) uno spazio topologico Hausdorff. Sia \(J\) un insieme filtrante e \( x:J\to Y\) una rete in \(Y\). Per ogni \(α ∈ J\) definiamo \(E_{𝛼}{\stackrel{.}{=}}\{ x_{𝛽} : 𝛽 ∈ J, 𝛽 ≥ 𝛼 \} \) e
\[ E= ⋂ _{𝛼 ∈ J}\overline{E_{𝛼 }} \]Mostrate che \(E\) coincide con l’insieme \(L\) dei punti limite (definito in 261).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2FK’]
- E261
[0K8] Prerequisiti:58,237,4.Difficoltà:**.
Sia \((Y,\sigma )\) uno spazio topologico Hausdorff. Mostrate che \(Y\) è compatto se e solo se ogni rete a valori in \(Y\) ammette una sottorete convergente.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0K9’]