3.7 Passaggio al quoziente[1Z5]
[23M]Sia \(A\) un insieme e \(\sim \) una relazione di equivalenza. Si indica con
lo spazio quoziente, cioè l’insieme di tutte le classi di equivalenza; la proiezione canonica è la mappa \(\pi :A\to \frac A\sim \) che associa ad ogni \(x\in A\) la classe \([x]\in A/\sim \).
Supponiamo che la funzione \(f:A× A→ B\) sia invariante per la relazione d’equivalenza \(∼\) in tutte le sue variabili, cioè
\[ ∀ x,y,v,w∈ A, \quad x ∼ y∧ v∼ w⇒ f(x,v)=f(y,w)\quad ; \]sia \(\tilde f\) la proiezione al quoziente \(\widetilde f:\frac A∼× \frac A∼→ B\) che soddisfa
\[ f(x,y)=\widetilde f(𝜋(x),𝜋(y))\quad . \]Se \(f\) è commutativa (risp. associativa) allora \(\widetilde f\) è commutativa (risp. associativa).
Se \(R\) è una relazione in \(A× A\) invariante per \(∼\), e \(R\) è riflessiva (risp simmetrica, antisimmetrica, transitiva) allora \(\widetilde R\) è riflessiva (risp simmetrica, antisimmetrica, transitiva).
Se \(A\) e \(B\) sono ordinati e l’ordinamento è invariante, e \(f\) è monotona, allora \(\widetilde f\) è monotona.
[1Z7] (Replaces 06G) (Replaces 06H) Consideriamo \(R\) una relazione in \(A× A\) transitiva e riflessiva: una tale relazione è detta un preordine [ 28 ] ; definiamo \(x ∼ y\iff (xRy ∧ yRx)\) allora \(∼\) è una relazione di equivalenza, \(R\) è invariante per \(∼\), e \(\widetilde R\) (definita come in 81) è una relazione d’ordine.
\(∼\) è chiaramente riflessiva e simmetrica; è transitiva perché se \(x∼ y,y∼ z\) allora \(xRy∧ yRx∧ yRz∧ zRy\) ma essendo \(R\) transitiva si ottiene \(xRz∧ zRx\) cioè \(x∼ z\)
Siano \(x,y,\tilde x,\tilde y∈ X\) tali che \(x∼ \tilde x,y∼ \tilde y\) allora si ha \(xR\tilde x ∧ \tilde xRx∧ yR\tilde y∧ \tilde yRy\) se aggiungiamo \(xRy\) per transitività otteniamo \(\tilde xR\tilde y\); e simmetricamente.
Vediamo infine che \({\widetilde R}\) è una relazione d’ordine su \(Y\). Usando la (buona) definizione “\([x]{\widetilde R}[y] \iff xRy\)” deduciamo che \({\widetilde R}\) è riflessiva e transitiva (come del resto asserito nella proposizione precedente). \({\widetilde R}\) è anche antisimmetrica perché se per \(z,w∈ A/∼\) si ha \(z{\widetilde R}w∧ w{\widetilde R}z\) allora presi \(x∈ z,y∈ w\) si ha \(xRy ∧ yRx\) che vuol dire \(x∼ y\) e dunque \(z=w\).
- E82
[1Z8] Siano \(ℤ\) i numeri interi relativi dotati delle usuali operazioni. Sia \(p≥ 1\) intero fissato. Consideriamo la relazione di equivalenza
\[ n∼ m \iff p | (n-m) \]cioè sono equivalenti quando \(n-m\) è divisibile per \(p\).
Mostrate che vi sono \(p\) classi di equivalenza \([0],[1],\ldots [p-1]\) Si indica lo spazio quoziente con \(ℤ/(pℤ)\) o più brevemente \(ℤ_ p\).
Mostrate che le usuali operazioni di somma, sottrazione, prodotto in \(ℤ\) passano al quoziente.