2.7 Passaggio al quoziente[1Z5]

Definizione 80

[23M]Sia \(A\) un insieme e \(\sim \) una relazione di equivalenza. Si indica con

\[ \frac A\sim \]

lo spazio quoziente, cioè l’insieme di tutte le classi di equivalenza; la proiezione canonica è la mappa \(\pi :A\to \frac A\sim \) che associa ad ogni \(x\in A\) la classe \([x]\in A/\sim \).

[20Q]

  • Supponiamo di avere una funzione \(f:A→ C\); diremo che questa è invariante (o anche “compatibile con \(∼\)”) se

    \begin{equation} ∀ x,y∈ A, \quad x∼ y⇒ f(x)=f(y)\quad .\label{eq:simRRR} \end{equation}
    81

    Questo comporta che \(f\) è costante su ogni classe di equivalenza; dunque \(f\) passa al quoziente, cioè è ben definita una funzione \(\widetilde f:\frac A∼→ B\) tale che \(\widetilde f([x]) = f(x)\) per ogni \(x∈ A\); cioè \(\widetilde f◦ 𝜋≡ f\).

    (Vedere il PDF per la figura)

  • Similmente ci comportiamo se \(f\) è una funzione a più argomenti \(f:A_ 1× A_ 2× \ldots A_ n→ C\), e su uno o più di questi insiemi \(A_ 1\) sono presenti relazioni di equivalenza: in questo caso possiamo far passare ai quozienti le variabili associate. Ad esempio nel caso che vi sia una relazione di equivalenza \(∼\) su \(A_ 1\), richiederemo che

    \[ ∀ x,y∈ A_ 1,∀ a_ 2∈ A_ 2\ldots ∀ a_ n∈ A_ n\ldots \quad x∼ y⇒ f(x,a_ 2,\ldots a_ n)=f(y,a_ 2,\ldots a_ n) \]

    e allora potremo passare al quoziente e definire la funzione \(\widetilde f:{\frac{A_ 1}∼ }× A_ 2× \ldots A_ n→ C\) in modo che

    \[ \widetilde f(𝜋(x),a_ 2,\ldots a_ n)=f(x,a_ 2,\ldots a_ n)\quad . \]

  • Un simile ragionamento può essere fatto per le relazioni \(R∈ A× B\); formalmente possiamo ricondurci al caso precedente pensando a \(R\) come a una funzione che ha dominio \(A× B\) e codominio l’insieme \(\{ ``\mathrm{vero}'' , ``\mathrm{falso}''\} \); per essere più espliciti, diremo che \(R\) è invariante rispetto alla relazione \(∼\) su \(A\) se

    \[ ∀ x,y∈ A,∀ b∈ B \quad x∼ y⇒ ( xRb ⇔ yRb)\quad ; \]

    e in questo caso possiamo definire la relazione \(\widetilde R\) “proiettata al quoziente” fra \(\frac A∼\) e \(B\).

  • In certi casi invece una funzione passa al quoziente contemporaneamente al dominio e al codominio; vediamo il caso di una funzione di due argomenti, che sarà usato in seguito. Supponiamo di avere una funzione \(f:A× A→ A\); diremo che questa è invariante se
         (Vedere il PDF per la figura)

    \begin{equation} ∀ x,\tilde x,y,\tilde y∈ A, \quad (x∼ \tilde x ∧ y∼\tilde y)⇒ f(x,y)∼ f(\tilde x,\tilde y)\quad ;\label{eq:sim-AA-A} \end{equation}
    82

    allora \(f\) passa al quoziente, cioè è ben definita una funzione

    \[ \widetilde f: \frac{A}∼ × \frac{A}∼ → \frac{A}∼ \]

    tale che

    \[ ∀ x,y∈ A\quad \widetilde f([x],[y]) = [f(x,y)]\quad . \]

Proposizione 83

[1Z6]

  • Supponiamo che la funzione \(f:A× A→ A\) sia invariante per la relazione d’equivalenza \(∼\) in tutte le sue variabili, nel senso definito in 82 sia \(\tilde f\) la proiezione al quoziente

    \[ \widetilde f:\frac A∼× \frac A∼→ \frac A∼\quad . \]

    Se \(f\) è commutativa (risp. associativa) allora \(\widetilde f\) è commutativa (risp. associativa).

  • Se \(R\) è una relazione in \(A× A\) invariante per \(∼\), e \(R\) è riflessiva (risp simmetrica, antisimmetrica, transitiva) allora \(\widetilde R\) è riflessiva (risp simmetrica, antisimmetrica, transitiva).

  • Supponiamo che \((A,≤_ A)\) e \((B,≤_ B)\) siano ordinati e sia \(f:A→ B\) monotona; supponiamo inoltre che l’ordinamento \(≤_ A\) sia invariante rispetto a una relazione di equivalenza \(∼\) su \(A\), e sia \(\widetilde f:{\frac{A}∼ }→ B\) la proiezione al quoziente: allora \(\widetilde f\) è monotona.

Proposizione 84

[1Z7] (Replaces 06G) (Replaces 06H) Consideriamo \(R\) una relazione in \(A× A\) transitiva e riflessiva: una tale relazione è detta un preordine [ 28 ] ; definiamo \(x ∼ y\iff (xRy ∧ yRx)\) allora \(∼\) è una relazione di equivalenza, \(R\) è invariante per \(∼\), e \(\widetilde R\) (definita come in 83) è una relazione d’ordine.

Prova ▼

  1. \(∼\) è chiaramente riflessiva e simmetrica; è transitiva perché se \(x∼ y,y∼ z\) allora \(xRy∧ yRx∧ yRz∧ zRy\) ma essendo \(R\) transitiva si ottiene \(xRz∧ zRx\) cioè \(x∼ z\)

  2. Siano \(x,y,\tilde x,\tilde y∈ X\) tali che \(x∼ \tilde x,y∼ \tilde y\) allora si ha \(xR\tilde x ∧ \tilde xRx∧ yR\tilde y∧ \tilde yRy\) se aggiungiamo \(xRy\) per transitività otteniamo \(\tilde xR\tilde y\); e simmetricamente.

  3. Vediamo infine che \({\widetilde R}\) è una relazione d’ordine su \(Y\). Usando la (buona) definizione “\([x]{\widetilde R}[y] \iff xRy\)” deduciamo che \({\widetilde R}\) è riflessiva e transitiva (come del resto asserito nella proposizione precedente). \({\widetilde R}\) è anche antisimmetrica perché se per \(z,w∈ A/∼\) si ha \(z{\widetilde R}w∧ w{\widetilde R}z\) allora presi \(x∈ z,y∈ w\) si ha \(xRy ∧ yRx\) che vuol dire \(x∼ y\) e dunque \(z=w\).

E84

[1Z8] Siano \(ℤ\) i numeri interi relativi dotati delle usuali operazioni. Sia \(p≥ 1\) intero fissato. Consideriamo la relazione di equivalenza

\[ n∼ m \iff p | (n-m) \]

cioè sono equivalenti quando \(n-m\) è divisibile per \(p\).

Mostrate che vi sono \(p\) classi di equivalenza \([0],[1],\ldots [p-1]\) Si indica lo spazio quoziente con \(ℤ/(pℤ)\) o più brevemente \(ℤ_ p\).

Mostrate che le usuali operazioni di somma e prodotto in \(ℤ\) sono inviarianti (nel senso definito in 82) dunque passano al quoziente.