[1Z7] (Replaces 06G) (Replaces 06H) Consideriamo \(R\) una relazione in \(A× A\) transitiva e riflessiva: una tale relazione è detta un preordine [ 25 ] ; definiamo \(x ∼ y\iff (xRy ∧ yRx)\) allora \(∼\) è una relazione di equivalenza, \(R\) è invariante per \(∼\), e \(\widetilde R\) (definita come in [1Z6]) è una relazione d’ordine.
\(∼\) è chiaramente riflessiva e simmetrica; è transitiva perché se \(x∼ y,y∼ z\) allora \(xRy∧ yRx∧ yRz∧ zRy\) ma essendo \(R\) transitiva si ottiene \(xRz∧ zRx\) cioè \(x∼ z\)
Siano \(x,y,\tilde x,\tilde y∈ X\) tali che \(x∼ \tilde x,y∼ \tilde y\) allora si ha \(xR\tilde x ∧ \tilde xRx∧ yR\tilde y∧ \tilde yRy\) se aggiungiamo \(xRy\) per transitività otteniamo \(\tilde xR\tilde y\); e simmetricamente.
Vediamo infine che \({\widetilde R}\) è una relazione d’ordine su \(Y\). Usando la (buona) definizione “\([x]{\widetilde R}[y] \iff xRy\)” deduciamo che \({\widetilde R}\) è riflessiva e transitiva (come del resto asserito nella proposizione precedente). \({\widetilde R}\) è anche antisimmetrica perché se per \(z,w∈ A/∼\) si ha \(z{\widetilde R}w∧ w{\widetilde R}z\) allora presi \(x∈ z,y∈ w\) si ha \(xRy ∧ yRx\) che vuol dire \(x∼ y\) e dunque \(z=w\).