13.2 Funzioni uniformemente continue[2DQ]

Si vede facilmente che una funzione uniformemente continua è continua in ogni punto.

E354

[156]Prerequisiti:354.Sia $f:X_1\to X_2$ con $(X_1,d_1)$ e $(X_2,d_2)$ spazi metrici.

Una funzione $𝜔:[0,\infty )\to [0,\infty ]$ monotona (debolmente) crescente, con $𝜔(0)=0$ e $\underset{t\to 0+}{lim}𝜔(t)=0$, tale che

$$\forall x,y\in X_1,d_2(f(x),f(y))\le 𝜔(d_1(x,y)),$$

355

è detta modulo di continuità per la funzione $f$. (Notate che $f$ può avere molti moduli di continuità).

Per esempio se la funzione $f$ è Lipschitziana cioè esiste $L>0$ tale che

$$\forall x,y\in X_1,d_2(f(x),f(y))\le L{d}_1(x,y)$$

allora $f$ soddisfa la eqz. ?? ponendo $𝜔(t)=Lt$.

Vedremo ora che l’esistenza di un modulo di continuità è equivalente alla uniforme continuità di $f$.

• Se $f$ è uniformemente continua, mostrate che la funzione

  $${𝜔}_f(t)=sup\{d_2(f(x),f(y)):x,y\in X_1,d_1(x,y)\le t\}$$

  356

  è il più piccolo modulo di continuità. ¹

• Notate che il modulo definito in ?? potrebbe non essere continuo, e potrebbe essere infinito per $t$ grande — trovate esempi a riguardo.

• Mostrate inoltre che se $f$ è uniformemente continua si può trovare un modulo che è continuo dove è finito.

• Viceversa è facile vericare che se $f$ ha un modulo di continuità, allora è uniformemente continua.

Se non conoscete la teoria degli spazi metrici, potete dimostrare i precedenti risultati nel caso in cui $f:I\to ℝ$ con $I\subseteq ℝ$. (Si veda anche l’esercizio 2, che mostra che in questo caso il modulo $𝜔$ definito in ?? è continuo ed è finito).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’157’][UNACCESSIBLE UUID ’158’][UNACCESSIBLE UUID ’159’] [UNACCESSIBLE UUID ’15B’]

[15C]Sia $(X,d)$ spazio metrico, sia $\mathcal{F}$ l’insieme delle funzioni $f:X\to ℝ$ uniformemente continue, si mostri che $\mathcal{F}$ è uno spazio vettoriale.

Questo vale più in generale se $f:X\to X_2$ dove $X_2$ è uno spazio vettoriale normato (a cui associamo la distanza derivata dalla norma).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15D’] [15F] Difficoltà:*.Siano $(X_1,d_1)$ e $(X_2,d_2)$ spazi metrici, con $(X_2,d_2)$ completo. Sia $A\subset X_1$ e $f:A\to X_2$ una funzione uniformemente continua. Si mostri che esiste una funzione uniformemente continua $g:\bar{A}\to X_2$ che estende $f$; inoltre l’estensione $g$ è unica.

Si noti che se $𝜔$ è un modulo di continuità per $f$ allora è anche un modulo di continuità per $g$. (Si assuma che $𝜔$ sia continuo, o almeno che sia semicontinuo superiore). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15G’][UNACCESSIBLE UUID ’15H’] [15J] Prerequisiti:4.Sia $A\subset {ℝ}^n$ limitato e $f:A\to ℝ$ una funzione continua. Si mostri che $f$ è uniformemente continua se e solo esiste una funzione continua $g:\bar{A}\to ℝ$ che estende $f$; inoltre l’estensione $g$ è unica.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15K’] [15M]Sia $f:(0,1]\to ℝ$ una funzione continua. Si mostri che è uniformemente continua se e solo se esiste finito il limite $\underset{x\to 0+}{lim}f(x)$. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15N’] [15P] Sia $f:[0,\infty )\to ℝ$ una funzione continua e tale che esista finito il limite $\underset{x\to \infty }{lim}f(x)$. Si mostri che è uniformemente continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15Q’] [15R]Sia $f:[0,\infty )\to ℝ$ una funzione continua, si mostri che queste due asserzioni sono equivalenti.

• Esiste $g:[0,\infty )\to ℝ$ uniformemente continua e tale che esiste finito il limite $\underset{x\to \infty }{lim}(f(x)-g(x))$.

• $f$ è uniformemente continua.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15S’] [15T]Si trovi un esempio di $f:[0,\infty )\to ℝ$ continua e limitata, ma non uniformemente continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15V’] [15W] Sia $I\subseteq ℝ$ intervallo, e sia $f:I\to ℝ$ uniformemente continua. Sia il modulo di continuità $𝜔$, definito tramite la eqn. ?? come nell’esercizio 1. Si mostri che $𝜔$ è subaddittiva cioè

Sapendo che $\underset{t\to 0+}{lim}𝜔(t)=0$ se ne conclude che $𝜔$ è continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15X’] [UNACCESSIBLE UUID ’15Y’] [15Z]Prerequisiti:2. Sia $f:ℝ\to ℝ$ uniformemente continua; si mostri che

o equivalentemente che esiste una costante $C$ tale che $|f(x)|\le C(1+|x|)$ per ogni $x$. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’160’] [161]Prerequisiti:16. Siano $(X_1,d_1)$, $(X_2,d_2)$ e $(Y,𝛿)$ tre spazi metrici; consideriamo il prodotto $X=X_1\times X_2$ dotato della distanza $d(x,y)=d_1(x_1,y_1)+d_2(x_2,y_2)$.   ² Sia $f:X\to Y$ una funzione con le seguenti proprietà:

• Per ogni fissato $x_1\in X_1$ la funzione $x_2\mapsto f(x_1,x_2)$ è continua (come funzione da $X_2$ a $Y$);

• esiste un modulo di continuità $𝜔$ tale che

  $$\forall x_1,{\tilde{x}}_1\in X_2,\forall x_2\in X_2,𝛿(f(x_1,x_2),f({\tilde{x}}_1,x_2))\le 𝜔(d_1(x_1,{\tilde{x}}_1))$$

  (potremmo definire questa proprietà dicendo che la funzione $x_1\mapsto f(x_1,x_2)$ è uniformemente continua, con costanti indipendenti dalla scelta di $x_2$).

Si mostri allora che $f$ è continua.

Si veda anche il punto 3 dell’esercizio 5.