14.2 Funzioni uniformemente continue[2DQ]

Si vede facilmente che una funzione uniformemente continua è continua in ogni punto.

E355

[156]Prerequisiti:355.Sia \(f:X_ 1→ X_ 2\) con \((X_ 1,d_ 1)\) e \((X_ 2,d_ 2)\) spazi metrici.

Una funzione \(𝜔:[0,∞)→ [0,∞]\) monotona (debolmente) crescente, con \(𝜔(0)=0\) e \(\lim _{t→ 0+}𝜔(t)=0\), tale che

\begin{equation} ∀ x,y∈ X_ 1,~ ~ d_ 2(f(x),f(y))≤ 𝜔(d_ 1(x,y))~ , \label{eq:modulo_ continuita} \end{equation}

356

è detta modulo di continuità per la funzione \(f\). (Notate che \(f\) può avere molti moduli di continuità).

Per esempio se la funzione \(f\) è Lipschitziana cioè esiste \(L{\gt}0\) tale che

\[ ∀ x,y∈ X_ 1,~ ~ d_ 2(f(x),f(y))≤ L \, d_ 1(x,y) \]

allora \(f\) soddisfa la eqz. ?? ponendo \(𝜔(t)=L t\).

Vedremo ora che l’esistenza di un modulo di continuità è equivalente alla uniforme continuità di \(f\).

• Se \(f\) è uniformemente continua, mostrate che la funzione

  \begin{equation} 𝜔_ f(t) = \sup \{ d_ 2(f(x), f(y)) ~ :~ x,y∈ X_ 1,d_ 1(x,y)≤ t \} \label{eq:modulo_ cont_ con_ sup} \end{equation}

  357

  è il più piccolo modulo di continuità. ¹

• Notate che il modulo definito in ?? potrebbe non essere continuo, e potrebbe essere infinito per \(t\) grande — trovate esempi a riguardo.

• Mostrate inoltre che se \(f\) è uniformemente continua si può trovare un modulo che è continuo dove è finito.

• Viceversa è facile vericare che se \(f\) ha un modulo di continuità, allora è uniformemente continua.

Se non conoscete la teoria degli spazi metrici, potete dimostrare i precedenti risultati nel caso in cui \(f:I→ ℝ\) con \(I⊆ℝ\). (Si veda anche l’esercizio 2, che mostra che in questo caso il modulo \(𝜔\) definito in ?? è continuo ed è finito).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’157’][UNACCESSIBLE UUID ’158’][UNACCESSIBLE UUID ’159’] [UNACCESSIBLE UUID ’15B’]

[15C]Sia \((X,d)\) spazio metrico, sia \(\mathcal F\) l’insieme delle funzioni \(f:X→ℝ\) uniformemente continue, si mostri che \(\mathcal F\) è uno spazio vettoriale.

Questo vale più in generale se \(f:X→ X_ 2\) dove \(X_ 2\) è uno spazio vettoriale normato (a cui associamo la distanza derivata dalla norma).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15D’] [15F] Difficoltà:*.Siano \((X_ 1,d_ 1)\) e \((X_ 2,d_ 2)\) spazi metrici, con \((X_ 2,d_ 2)\) completo. Sia \(A⊂ X_ 1\) e \(f:A→ X_ 2\) una funzione uniformemente continua. Si mostri che esiste una funzione uniformemente continua \(g:\overline A→ X_ 2\) che estende \(f\); inoltre l’estensione \(g\) è unica.

Si noti che se \(𝜔\) è un modulo di continuità per \(f\) allora è anche un modulo di continuità per \(g\). (Si assuma che \(𝜔\) sia continuo, o almeno che sia semicontinuo superiore). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15G’][UNACCESSIBLE UUID ’15H’] [15J] Prerequisiti:4.Sia \(A⊂ ℝ^ n\) limitato e \(f:A→ℝ\) una funzione continua. Si mostri che \(f\) è uniformemente continua se e solo esiste una funzione continua \(g:\overline A→ ℝ\) che estende \(f\); inoltre l’estensione \(g\) è unica.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15K’] [15M]Sia \(f:(0,1]→ℝ\) una funzione continua. Si mostri che è uniformemente continua se e solo se esiste finito il limite \(\lim _{x→ 0+}f(x)\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15N’] [15P] Sia \(f:[0,∞)→ℝ\) una funzione continua e tale che esista finito il limite \(\lim _{x→∞} f(x)\). Si mostri che è uniformemente continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15Q’] [15R]Sia \(f:[0,∞)→ℝ\) una funzione continua, si mostri che queste due asserzioni sono equivalenti.

• Esiste \(g:[0,∞)→ℝ\) uniformemente continua e tale che esiste finito il limite \(\lim _{x→∞} ( f(x)-g(x))\).

• \(f\) è uniformemente continua.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15S’] [15T]Si trovi un esempio di \(f:[0,∞)→ℝ\) continua e limitata, ma non uniformemente continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15V’] [15W] Sia \(I⊆ℝ\) intervallo, e sia \(f:I→ℝ\) uniformemente continua. Sia il modulo di continuità \(𝜔\), definito tramite la eqn. ?? come nell’esercizio 1. Si mostri che \(𝜔\) è subaddittiva cioè

Sapendo che \(\lim _{t→ 0+}𝜔(t)=0\) se ne conclude che \(𝜔\) è continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’15X’] [UNACCESSIBLE UUID ’15Y’] [15Z]Prerequisiti:2. Sia \(f:ℝ→ℝ\) uniformemente continua; si mostri che

o equivalentemente che esiste una costante \(C\) tale che \(|f(x)|≤ C (1+|x|)\) per ogni \(x\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’160’] [161]Prerequisiti:16. Siano \((X_ 1,d_ 1)\), \((X_ 2,d_ 2)\) e \((Y,𝛿)\) tre spazi metrici; consideriamo il prodotto \(X=X_ 1× X_ 2\) dotato della distanza \(d(x,y)=d_ 1(x_ 1,y_ 1)+d_ 2(x_ 2,y_ 2)\).   ² Sia \(f:X→ Y \) una funzione con le seguenti proprietà:

• Per ogni fissato \(x_ 1∈ X_ 1\) la funzione \(x_ 2↦ f(x_ 1,x_ 2)\) è continua (come funzione da \(X_ 2\) a \(Y\));

• esiste un modulo di continuità \(𝜔\) tale che

  \[ ∀ x_ 1,\tilde x_ 1∈ X_ 2~ ~ ,~ ~ ∀ x_ 2∈ X_ 2~ ~ , 𝛿\big(f(x_ 1,x_ 2),f(\tilde x_ 1,x_ 2)\big) ≤ 𝜔\big(d_ 1(x_ 1,\tilde x_ 1)\big) \]

  (potremmo definire questa proprietà dicendo che la funzione \(x_ 1↦ f(x_ 1,x_ 2)\) è uniformemente continua, con costanti indipendenti dalla scelta di \(x_ 2\)).

Si mostri allora che \(f\) è continua.

Si veda anche il punto 3 dell’esercizio 5.