EDB — 161

[161]Prerequisiti:[0PT]↺↻. Siano \((X_ 1,d_ 1)\), \((X_ 2,d_ 2)\) e \((Y,𝛿)\) tre spazi metrici; consideriamo il prodotto \(X=X_ 1× X_ 2\) dotato della distanza \(d(x,y)=d_ 1(x_ 1,y_ 1)+d_ 2(x_ 2,y_ 2)\).   ¹ Sia \(f:X→ Y \) una funzione con le seguenti proprietà:

• Per ogni fissato \(x_ 1∈ X_ 1\) la funzione \(x_ 2↦ f(x_ 1,x_ 2)\) è continua (come funzione da \(X_ 2\) a \(Y\));

• esiste un modulo di continuità \(𝜔\) tale che

  \[ ∀ x_ 1,\tilde x_ 1∈ X_ 2~ ~ ,~ ~ ∀ x_ 2∈ X_ 2~ ~ , 𝛿\big(f(x_ 1,x_ 2),f(\tilde x_ 1,x_ 2)\big) ≤ 𝜔\big(d_ 1(x_ 1,\tilde x_ 1)\big) \]

  (potremmo definire questa proprietà dicendo che la funzione \(x_ 1↦ f(x_ 1,x_ 2)\) è uniformemente continua, con costanti indipendenti dalla scelta di \(x_ 2\)).

Si mostri allora che \(f\) è continua.