EDB — 0PT

[0PT] Prerequisiti:[0M3]↺↻, [0PS]↺↻, [107]↺↻, [10F]↺↻,[10J]↺↻.

Presi $(X_1,d_1),\dots ,(X_n,d_n)$ spazi metrici, sia $X=X_1\times \cdots \times X_n$.

Sia $𝜑$ una delle norme definite in eqn. [2CK]↺↻ in Sez. [2CK]↺↻. Due possibili esempi sono $𝜑(x)=|x_1|+\cdots +|x_n|$ oppure $𝜑(x)=\underset{i=1\dots n}{max}|x_i|$.

Definiamo infine per $x,y\in X$

Si mostri che $d$ è una distanza; si mostri che la topologia in $(X,d)$ coincide con la topologia prodotto (si veda [0M3]↺↻).

Si noti che questo approccio generalizza il modo con cui viene definita la distanza Euclidea fra punti in ${ℝ}^n$ (prendendo $X_i=ℝ$ e $𝜑(z)=\sqrt{{\sum }_i|z_i{|}^2}$). Ne deduciamo che la topologia di ${ℝ}^n$ è il prodotto delle topologie di $ℝ$.

Si veda anche l’esercizio [0QM]↺↻, che riformula quanto sopra usando il concetto di basi di topologie.

[ [0PV]↺↻] [ [0PW]↺↻]