EDB — 0PT

[0PT] Prerequisiti:[0M3]↺↻, [0PS]↺↻, [107]↺↻, [10F]↺↻,[10J]↺↻.

Presi \((X_ 1,d_ 1),\ldots ,(X_ n,d_ n)\) spazi metrici, sia \(X=X_ 1× \cdots × X_ n\).

Sia \(𝜑\) una delle norme definite in eqn. [2CK]↺↻ in Sez. [2CK]↺↻. Due possibili esempi sono \(𝜑(x)=|x_ 1|+\cdots + |x_ n|\) oppure \(𝜑(x)=\max _{i=1\ldots n} |x_ i|\).

Definiamo infine per \(x,y∈ X\)

Si mostri che \(d\) è una distanza; si mostri che la topologia in \((X,d)\) coincide con la topologia prodotto (si veda [0M3]↺↻).

Si noti che questo approccio generalizza il modo con cui viene definita la distanza Euclidea fra punti in \(ℝ^ n\) (prendendo \(X_ i=ℝ\) e \(𝜑(z)=\sqrt{∑_ i |z_ i|^ 2}\)). Ne deduciamo che la topologia di \(ℝ^ n\) è il prodotto delle topologie di \(ℝ\).

Si veda anche l’esercizio [0QM]↺↻, che riformula quanto sopra usando il concetto di basi di topologie.

[ [0PV]↺↻] [ [0PW]↺↻]