EDB — 0QM

[0QM]

Rivediamo l’esercizio [0PT]↺↻.

Presi $(X_1,d_1),\dots ,(X_n,d_n)$ spazi metrici, sia $X=X_1\times X_1\times \cdots \times X_n$.

Sia $d$ la distanza

Questa è la stessa $d$ definita come in eqn. [(9.26)]↺↻ in [0PT]↺↻, ponendo $𝜑(x)=\underset{i=1\dots n}{max}|x_i|$. Indichiamo con $B^d(x,r)$ la palla in $(X,d)$ di centro $x\in X$ e raggio $r>0$.

Vogliamo mostrare che $d$ induce la topologia prodotto su $X$, usando i risultati visti in Sez. [2B5]↺↻.

Presi $t\in X_i,r>0$ indichiamo con $B^{d_i}(t,r)$ la palla nello spazio metrico $(X_i,d_i)$. Sia ${\mathcal{B}}_i$ la famiglia di tutte le palle in $(X_i,d_i)$.

Sia $\mathcal{B}$ definito come

Mostrate che ogni palla $B^d(x,r)$ in $(X,d)$ è il prodotto cartesiano delle palle $B^{d_i}(x_i,r)$ in $(X_i,d_i)$. Sia dunque $\mathcal{P}$ la famiglia delle palle $B^d(x,r)$ in $(X,d)$.

Da [0QJ]↺↻ sappiamo che $\mathcal{P}$ è una base per la topologia standard nello spazio metrico $(X,d)$.

Usate [0M7]↺↻ per mostrare che $\mathcal{P}$ e $\mathcal{B}$ generano la stessa topologia $𝜏$.

Usate [0M5]↺↻ per mostrare che $𝜏$ è la topologia prodotto.

Se ne conclude che la distanza $d$ genera la topologia prodotto.