12 Spazi normati[0ZT]

Sia nel seguito $X$ uno spazio vettoriale basato sul campo reale ${\mathbb {R}}$.

Definizione 323 Norma

[0ZV] Una norma è un operazione che mappa un vettore $v∈ X$ in un numero reale $\| v\| $, che soddisfa

$\| v\| ≥ 0$ e $\| v\| =0$ se e solo se $v=0$;
per ogni $v∈ X$ e $t∈ {\mathbb {R}}$ si ha $|t|\, \| v\| =\| tv\| $ (diremo che la norma è assolutamente omogenea);
(Disuguaglianza triangolare) per ogni $v,w∈ X$ si ha

\[ \| v+w\| ≤ \| v\| +\| w\| \quad ; \]

questa dice che un lato di un triangolo è minore della somma degli altri due.

Nota 324

[0ZW]Molti dei risultati negli esercizi successivi si generalizzano al caso di “norme asimmetiche”, in cui la seconda richiesta sia sostituita da questa: per ogni reale $t≥ 0$ si ha $t\| v\| =\| tv\| $. (In questo caso diremo che la norma è positivamente omogenea).

E324

[0ZX] Sia $X$ uno spazio vettoriale e $f:V→ {\mathbb {R}}$ una funzione che è positivamente omogenea, cioè: per ogni $v∈ X$ e $t≥ 0$ si ha $t f(v)=f (tv)$.

Mostrate che $f$ è convessa se e solo se vale la disuguaglianza triangolare: per ogni $v,w∈ X$ si ha

\[ f(v+w) ≤ f(v)+f(w)\quad . \]

In particolare, una norma è sempre una funzione convessa.

E324

[0ZY] Notate che se $v,w∈ X$ sono linearmente dipendenti e hanno lo stesso verso (cioè si può scrivere $v=𝜆 w$ o $w=𝜆 v$, per $𝜆≥ 0$), allora si ha

\[ \| v+w\| = \| v\| +\| w\| \quad . \]

In particolare, una norma non è una funzione strettamente convessa, perché

\[ \| \frac{v} 2+\frac{v} 2\| = \frac 1 2 \| v\| +\frac 1 2\| v\| \quad . \]

E324

[0ZZ] Prerequisiti:4, 372, 1.Difficoltà:*.Diremo che lo spazio normato $(X,\| ⋅\| )$ è strettamente convesso ¹ se le seguenti proprietà equivalenti valgono.

Il disco $D=\{ x∈ X:\| x\| ≤ 1\} $ è strettamente convesso. ²
La sfera $\{ x∈ X,\| x\| =1\} $ non contiene segmenti non-banali (cioè, segmento di lunghezza positiva).
Per $v,w∈ D$ con $\| v\| =\| w\| =1$ e $v≠ w$, per ogni $t$ con $0{\lt}t{\lt}1$ si ha che $\| t v+(1-t)w\| {\lt}1$.
Per ogni $v,w∈ X$ che sono linearmente indipendenti si ha $ \| v+w\| {\lt} \| v\| +\| w\| \quad .$

Dimostrate che le quattro precedenti clausule sono equivalenti.

[UNACCESSIBLE UUID ’101’]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’102’] $\includegraphics[width=\textwidth ]{UUID/1/0/4/blob_und.png}$ [105]Sia $X$ uno spazio vettoriale normato con norma $\| ⋅\| $, mostrate che l’operazione somma $'+':X× X→ X$ è continua. [106] Prerequisiti:286.

Sia di nuovo $X$ uno spazio vettoriale normato con norma $\| ⋅\| $. Sia $B(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ X : \| x-y\| {\lt} r\} $ la palla; sia $D(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ X : \| x-y\| ≤ r\} $ il disco; sia $S(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ X : \| x-y\| = r\} $ la sfera. Si mostri che $\overline{B(x,r)}= D(x,r)$, che $B(x,r)= {{D(x,r)}^\circ }$, e che $∂{B(x,r)}=∂{D(x,r)}= S(x,r)$. Si mostri inoltre che $B(x,r)$ non è chiuso e $D(x,r)$ non è aperto. [107] Prerequisiti:15.Sia $X$ uno spazio vettoriale, siano $𝜙,𝜓$ due norme su esso. Mostrate che le topologie generate da $𝜙$ e $𝜓$ coincidono, se e solo se esistono $0{\lt}a{\lt}b$ tali che

\begin{equation} ∀ x , ~ ~ a𝜓(x)≤𝜙(x)≤ b 𝜓(x)~ ~ .\label{eq:norme_ equiv} \end{equation}

325

(Quando la relazione ?? sussiste, diremo che le norme sono “equivalenti”).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’108’] [109] Vogliamo mostrare che “le norme in $ℝ^ n$ sono tutte equivalenti”.

Sia $\| x\| =\sqrt{∑_{i=1}^ n x_ i^ 2}$ la norma euclidea. Sia $𝜙:ℝ^ n→[0,∞)$ una norma: si può mostrare che $𝜙$ è una funzione convessa 1, e dunque che è una funzione continua per 4. Usate questo fatto per dimostrare che esistono $0{\lt}a{\lt}b$ tali che

\begin{equation} ∀ x , ~ ~ a\| x\| ≤𝜙(x)≤ b\| x\| ~ ~ .\label{eq:Rn_ norma_ equiv} \end{equation}

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Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10B’]