Esercizi
[109] Vogliamo mostrare che “le norme in \(ℝ^ n\) sono tutte equivalenti”.
Sia \(\| x\| =\sqrt{∑_{i=1}^ n x_ i^ 2}\) la norma euclidea. Sia \(𝜙:ℝ^ n→[0,∞)\) una norma: si può mostrare che \(𝜙\) è una funzione convessa [0ZX], e dunque che è una funzione continua per [186]. Usate questo fatto per dimostrare che esistono \(0{\lt}a{\lt}b\) tali che
\begin{equation} ∀ x , ~ ~ a\| x\| ≤𝜙(x)≤ b\| x\| ~ ~ .\label{eq:Rn_ norma_ equiv} \end{equation}4Soluzione 1