18.1 Sul Teorema di Ascoli–Arzelà
Vediamo ora alcuni esercizi che ricostruiscono il famoso Teorema di Ascoli–Arzelà.
- E406
[1JX]Prerequisiti:5 punto 6,7. Sia \(I⊆ ℝ\) un sottoinsieme. Sia \(X\) l’insieme delle funzioni \(f:I→ℝ\) limitate e uniformemente continue. Dotiamo \(X\) della distanza \(d_∞(f,g)=\| f-g\| _∞\). Mostrate che lo spazio metrico \((X,d_∞)\) è completo. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1JY’] In particolare, \(X\) è un sottospazio vettoriale chiuso nello spazio \(C_ b(I)\) delle funzioni continue e limitate.
Sia \((X,d_∞)\) come nell’esercizio 1 precedente. Sia ora \({\mathcal F}⊆ X\) una famiglia di funzioni, supponiamo che \({\mathcal F}\) sia totalmente limitata (come definito in 299): mostrate allora che la famiglia \({\mathcal F}\) è equicontinua.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1K1’]
[1K2]Prerequisiti:405,5, 6.3.Difficoltà:*.Sia ora invece \(I⊆ ℝ\) un intervallo chiuso e limitato. Siano \(f_ n:I→ℝ\) funzioni continue, e supponiamo che la successione \((f_ n)\) sia equicontinua e limitata (cioè \(\sup _ n \| f_ n\| _∞{\lt}∞\)). Si mostri che esiste una sottosuccessione \(f_{n_ k}\) che converge uniformemente.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1K3’]
[1K4]Prerequisiti:405,299,9,1,1.Difficoltà:**.Note:Una versione del teorema di Ascoli–Arzelà.Sia \(I⊆ ℝ\) un intervallo chiuso e limitato. Sia \(C(I)\) l’insieme delle funzioni \(f:I→ℝ\) continue. Dotiamo \(C(I)\) della distanza \(d_∞(f,g)=\| f-g\| _∞\). Sappiamo che lo spazio metrico \((C(I),d_∞)\) è completo.
Sia \({\mathcal F}⊆ C(I)\): le seguenti sono equivalenti.
\({\mathcal F}\) è compatto
\({\mathcal F}\) è chiusa, è equicontinua e limitata (cioè \(\sup _{f∈{\mathcal F}} \| f\| _∞{\lt}∞\)).