15.1 Insiemi convessi[2F0]
[16W]Dati \(x_ 1,\ldots x_ k∈ ℝ^ n\) , dati \(t_ 1,\ldots t_ k≥ 0\) con \(t_ 1+\cdots + t_ k=1\), la somma
[23P]Se \(k=2\) allora la combinazione convessa si scrive usualmente come \((tx+(1-t)y)\) con \(t∈ [0,1]\); l’insieme di tutti questi punti è il segmento che collega \(x\) a \(y\).
[16X] Sia \(C⊆ ℝ^ n\) un insieme; si dice convesso se
cioè se il segmento che collega ogni \(x,y∈ C\) è tutto compreso in \(C\).
Gli insiemi convessi godono di tantissime proprietà interessanti, questa che segue è solo una piccola lista.
Topologia
- E362
[16Y] Sia \(C⊆ ℝ^ n\) un insieme; mostrate che è convesso se e solo se contiene ogni combinazione convessa dei suoi punti, cioè: per ogni \(k≥ 1\), per ogni scelta di \(x_ 1,\ldots x_ k∈ C\) , per ogni scelta \(t_ 1,\ldots t_ k≥ 0\) con \(t_ 1+\cdots + t_ k=1\), si ha
\[ x_ 1 t_ 1+\cdots + x_ k t_ k ∈ C\quad . \]- E362
[16Z] Argomenti:simplesso.
Dati \(x_ 0,\ldots x_ k∈ ℝ^ n\), sia
\begin{equation} \left\{ ∑_{i=0}^ k x_ i t_ i : ∑_{i=0}^ k t_ i=1 ∀ i, t_ i≥ 0 \right\} \label{eq:simplesso} \end{equation}363l’insieme di tutte le possibili combinazioni, provare che questo insieme è convesso.
Quando i vettori \(x_ 1-x_ 0,x_ 2-x_ 0\ldots x_ k-x_ 0\) sono linearmente indipendenti, l’insieme sopra definito è un simplesso di dimensione \(k\).
Si mostri che se \(n=k\) allora il simplesso ha parte interna non vuota e uguale a
\begin{equation} \left\{ ∑_{i=0}^ n x_ i t_ i : ∑_{i=0}^ n t_ i=1 ∀ i, t_ i> 0 \right\} \label{eq:interno_ simplesso} \end{equation}364- E362
[170] Sia \(A⊂ ℝ^ n\) convesso contenente almeno due punti, sia \(V\) il più piccolo spazio affine che contiene \(A\) (si mostri che questo concetto è ben definito); e, visto \(A\) come sottoinsieme di \(V\), si mostri che \(A\) ha parte interna non vuota. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’171’]
- E362
[172] Se \(A⊂ ℝ^ n\) è convesso, \(x∈ {{A}^\circ }\) e \(y∈ A\) allora il segmento che li collega è contenuto in \({{A}^\circ }\), salvo eventualmente per l’estremo \(y\), cioè \(∀ t∈(0,1), t x+(1-t)y∈ {{A}^\circ }\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’173’]
- E362
[174] Prerequisiti:4,1.Se \(A⊂ ℝ^ n\) è convesso, \(x∈ {{A}^\circ }\) e \(z∈ ∂ A\) allora il segmento che li collega è contenuto in \({{A}^\circ }\), salvo eventualmente per l’estremo \(z\) (cioè \(∀ t∈(0,1), tx+(1-t)z∈ {{A}^\circ }\)). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’175’]
- E362
[176] Dato \(A⊂ ℝ^ n\) convesso, si mostri che, sia la sua apertura, quanto la sua chiusura, sono ancora convessi. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’177’]
- E362
[178] Prerequisiti:286,5.Dato \(A⊂ ℝ^ n\) convesso con parte interna nonvuota, si mostri che \(\overline A= \overline{({{A}^\circ })}\) (la chiusura della parte interna di \(A\)). Trovate poi un semplice esempio di \(A\) per cui \(\overline A≠ \overline{({{A}^\circ })}\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’179’]
- E362
[17B] Prerequisiti:7.Difficoltà:*.
Dato \(A⊂ ℝ^ n\) convesso, si mostri che \({{A}^\circ }={{\Big(\overline A\Big)}^\circ }\) (la parte interna della chiusura di \(A\)).
Usando 3 si mostra facilmente che \({{A}^\circ }⊇ {{\Big(\overline A\Big)}^\circ }\); solo che questo risultato fa comodo in una delle possibili dimostrazioni di 3 (!); una dimostrazione alternativa usa i simplessi come intorni, cf 2. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’17C’]
- E362
[059]Siano \(C_ i⊆ℝ^ n\) insiemi convessi, per \(i∈\ I\): dimostrate che
\[ ⋂_{i∈ I} C_ i \]è convesso.
Si vedano anche gli esercizi 6, 14 e 15.
Proiezione, separazione
- E365
[17D] Argomenti:proiezione.Difficoltà:*. Note:Questo è il noto “teorema della proiezione”, che vale per \(A\) convesso chiuso in uno spazio di Hilbert; se \(A⊂ ℝ^ n\) allora la dimostrazione è più semplice, e è un utile esercizio..
Dato \(A⊂ ℝ^ n\) chiuso convesso nonvuoto e \( z∈ ℝ^ n\), si mostri che esiste un unico punto di minimo \(x^*\) per il problema
\[ \min _{x∈ A} \| z-x\| ~ . \]Si mostri che \(x^*\) è il minimo se e solo se\[ ∀ y∈ A , ⟨ z-x^*, y-x^* ⟩≤ 0 ~ ~ . \]\(x^*\) è chiamato “la proiezione di \(z\) su \(A\)”.![\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/7/F/blob_zxx}](images/img-0006.png)
(Notate che quest’ultima condizione dice semplicemente che l’angolo deve essere ottuso).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’17G’]
- E365
[17H] Argomenti:separazione. Prerequisiti:1.
Dato \(A⊂ {\mathbb {R}}^ n\) chiuso convesso non-vuoto e \(z∉ A\), sia \(x^*\) definito come nell’esercizio precedente 1; definite \(𝛿=\| z-x^*\| \), \(v= (z-x^*)/𝛿\) e \(a=⟨ v,x^*⟩\). Si dimostri che \(v,a\) e \(v,a+𝛿\) definiscono due iperpiani paralleli che separano fortemente \(z\) da \(A\), nel senso che \(⟨ z,v⟩=a+𝛿\) ma \(∀ x∈ A,⟨ x,v⟩≤ a\).
- E365
[17J] Argomenti:separazione. Difficoltà:*.
Questo risultato vale in contesti molto generali, ed è una conseguenza del “teorema di Hahn–Banach” (che fa uso del Lemma di Zorn); se \(A⊂ ℝ^ n\) si può però dimostrare in modo elementare, vi invito a provarci.
Dato \(A⊂ ℝ^ n\) aperto convesso nonvuoto e \( z∉ A\), si mostri che esiste un iperpiano \(P\) che separa \( z\) da \(A\), nel senso che \(z\in P\) mentre \(A\) è contenuto in uno dei due semispazi chiusi che hanno \(P\) come bordo. Equivalentemente, in forma analitica, esistono \(a∈ℝ,v∈ℝ^ n,v≠ 0\) tali che \(⟨ z,v⟩=a\) ma \(∀ x∈ A,⟨ x,v⟩{\lt}a\); e
\[ P = \{ y\in {\mathbb {R}}^ n : ⟨ y,v⟩=a \} ~ . \]L’iperpiano \(P\) così definito è detto iperpiano di supporto di \(z\) per \(A\).
Vi sono (almeno) due dimostrazioni possibili. Una possibile dimostrazione si fa per induzione su \(n\); potete assumere senza perdita di generalità che \( z=e_ 1=(1,0\dots 0), 0∈ A, a=1\); tenete presente che l’intersezione di un convesso aperto con \(ℝ^{n-1}× \{ 0\} ⊂ℝ^ n\) è un convesso aperto in \(ℝ^{n-1}\); questa dimostrazione è complessa ma non usa nessun prerequisito. Una seconda dimostrazione usa 6 e 2 se \(z∉∂ A\); se \(z∈∂ A\) usa anche 7 per trovare \((z_ n)⊂ {{(A^ c)}^\circ }\) con \(z_ n→ z\) . Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’17K’]
- E365
[17M] Prerequisiti:3,2.Se \(A,B\) sono convessi disgiunti, con \(A\) aperto, mostrate che esiste un iperpiano che separa \(A\) e \(B\), cioè esistono \(v∈ℝ^ n,v≠ 0\) e \(c∈ℝ\) tale che
\begin{equation} ∀ x∈ A,⟨ x,v⟩< c \text{~ ma~ } ∀ y∈ B,⟨ y,v⟩≥ c ~ ;\label{eq:separa_ due_ convessi_ aperti} \end{equation}366mostrate inoltre che se anche \(B\) è aperto, allora si può avere separazione stretta (cioè disuguaglianza stretta nell’ultimo termine in ??).
(Suggerimento: dati \(A,B⊆ ℝ^ n\) convessi nonvuoti, si mostri che
\[ A-B{\stackrel{.}{=}}\{ x-y,x∈ A, y∈ B\} \]è convesso; si mostri che se \(A\) è aperto allora \(A-B\) è aperto, come in 2.) Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’17N’]- E365
[17P]Trovate un esempio di \(A,B⊂ℝ^ 2\) convessi aperti con \(\overline A,\overline B\) disgiunti, e tali che vi è un unico iperpiano che li separa (cioè una “unica” scelta di \(v,c\) che soddisfa ??; “unica”, a meno di moltiplicare \(v,c\) per una stessa costante positiva). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’17Q’]
- E365
[17R] Prerequisiti:3.Se \(A⊂ ℝ^ n\) è convesso, \(x∈ {{A}^\circ }\) e \(y∈∂ A\), allora la retta che li collega, proseguendo oltre \(y\), rimane fuori da \(\overline A\) (cioè \(∀ t{\gt}1, ty+(1-t)x∉ \overline A\)). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’17S’]
- E365
[17T] Argomenti:separazione,supporto. Prerequisiti: 3,3, 8.
Dato \(A⊂ ℝ^ n\) convesso nonvuoto e \(z∈ ∂ A\), si dimostri che esistono \(v∈ℝ^ n,a∈ℝ\) tali che \(⟨ z,v⟩= a\) e \(∀ x∈ A,⟨ x,v⟩≤ a\). L’iperpiano così definito è detto iperpiano di supporto di \(z\) per \(A\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’17V’]
- E365
[17W]Difficoltà:*.Dato un insieme \(A⊂ ℝ^ 2\) convesso limitato aperto nonvuoto, mostrate che \(∂ A\) è sostegno di un arco semplice chiuso (e anche Lipschitz).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’17X’]