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[17M] Prerequisiti:[17J],[11T].Se \(A,B\) sono convessi disgiunti, con \(A\) aperto, mostrate che esiste un iperpiano che separa \(A\) e \(B\), cioè esistono \(v∈ℝ^ n,v≠ 0\) e \(c∈ℝ\) tale che
\begin{equation} ∀ x∈ A,⟨ x,v⟩< c \text{~ ma~ } ∀ y∈ B,⟨ y,v⟩≥ c ~ ;\label{eq:separa_ due_ convessi_ aperti} \end{equation}18mostrate inoltre che se anche \(B\) è aperto, allora si può avere separazione stretta (cioè disuguaglianza stretta nell’ultimo termine in ??).
(Suggerimento: dati \(A,B⊆ ℝ^ n\) convessi nonvuoti, si mostri che
\[ A-B{\stackrel{.}{=}}\{ x-y,x∈ A, y∈ B\} \]è convesso; si mostri che se \(A\) è aperto allora \(A-B\) è aperto, come in [11T].)Soluzione 1
EDB — 17M
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Italiano
Autori:
"Mennucci , Andrea C. G."
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