EDB — 17J

[17J] Argomenti:separazione. Difficoltà:*.

Questo risultato vale in contesti molto generali, ed è una conseguenza del “teorema di Hahn–Banach” (che fa uso del Lemma di Zorn); se \(A⊂ ℝ^ n\) si può però dimostrare in modo elementare, vi invito a provarci.

Dato \(A⊂ ℝ^ n\) aperto convesso nonvuoto e \( z∉ A\), si mostri che esiste un iperpiano \(P\) che separa \( z\) da \(A\), nel senso che \(z\in P\) mentre \(A\) è contenuto in uno dei due semispazi chiusi che hanno \(P\) come bordo. Equivalentemente, in forma analitica, esistono \(a∈ℝ,v∈ℝ^ n,v≠ 0\) tali che \(⟨ z,v⟩=a\) ma \(∀ x∈ A,⟨ x,v⟩{\lt}a\); e

L’iperpiano \(P\) così definito è detto iperpiano di supporto di \(z\) per \(A\).

Vi sono (almeno) due dimostrazioni possibili. Una possibile dimostrazione si fa per induzione su \(n\); potete assumere senza perdita di generalità che \( z=e_ 1=(1,0\dots 0), 0∈ A, a=1\); tenete presente che l’intersezione di un convesso aperto con \(ℝ^{n-1}× \{ 0\} ⊂ℝ^ n\) è un convesso aperto in \(ℝ^{n-1}\); questa dimostrazione è complessa ma non usa nessun prerequisito. Una seconda dimostrazione usa [176]↺↻ e [17H]↺↻ se \(z∉∂ A\); se \(z∈∂ A\) usa anche [178]↺↻ per trovare \((z_ n)⊂ {{(A^ c)}^\circ }\) con \(z_ n→ z\) .