4 Gruppi, Anelli, Campi[1ZD]

Vediamo brevemente queste definizioni.

Definizione 161

[1ZF](Svolto il 2022-11-15) Un gruppo è un insieme $G$ munito di una operazione binaria $*$ , che ad ogni coppia $a, b \in G$ associa un elemento $a * b \in G$ , rispettando le seguenti proprietà

proprietà associativa: dati $a, b, c \in G$ vale $(a * b) * c = a * (b * c)$ .
esistenza dell’elemento neutro: un elemento indicato con $e$ tale che $a * e = e * a = a$ .
Esistenza dell’inverso: ad ogni elemento $a \in G$ è associato un elemento inverso $a^{'}$ , tale che $a * a^{'} = a^{'} * a = e$ . L’inverso dell’elemento $a$ è spesso indicato con $a^{- 1}$ (o $- a$ se il gruppo è commutativo). ¹

Un gruppo si dice commutativo (o abeliano) se vale anche $a * b = b * a$ per ogni coppia $a, b \in G$ .

Definizione 162

[1ZG](Svolto il 2022-11-15) Un anello è un insieme $A$ dotato di due operazioni binarie

$+$ (detta somma o addizione) e
$\cdot$ (detta “moltiplicazione”, indicata anche con il simbolo $\times$ o $*$ , e spesso omesso),

tale che

$A$ con $+$ è un gruppo commutativo (in genere l’elemento neutro si indica con $0$ );
l’operazione $\cdot$ ha elemento neutro (in genere l’elemento neutro si indica con $1$ ) ed è associativa;
la moltiplicazione distribuisce sull’addizione, sia a sinistra

$a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \forall a, b, c \in A$

sia a destra

$(b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a) \forall a, b, c \in A$

Un anello si dice commutativo se la moltiplicazione è commutativa. (Nel qual caso si equivalgono le distributività a destra o a sinistra).

Si assume in genere che

0 \neq 1

(altrimenti l’insieme

{0}

sarebbe un anello).

Esempi di anelli commutativi sono: gli interi $ℤ$ , i polinomi $A [x]$ con coefficienti scelti in un anello commutativo $A$ .

Un esempio di anello non commutativo molto usato è dato dalle matrici $ℝ^{n \times n}$ , con la loro usuale operazione di addizione e moltiplicazione.

Definizione 163

[1ZH](Svolto il 2022-11-15) Un campo $F$ è un anello per cui la moltiplicazione è commutativa, e ogni elemento $x \in F$ con $x \neq 0$ ha un inverso $x^{- 1}$ per la moltiplicazione.

(Così $F ⧵ {0}$ è un gruppo commutativo per la moltiplicazione, si veda 6).

Esempi di campi sono: i numeri razionali

ℚ

, i numeri reali

ℝ

e i numeri complessi

ℂ

Nota 164

[20R](Svolto il 2022-11-15) In genere ² si usano le scritture a sinistra al posto delle scritture a destra (dove $x, y, z$ sono nel campo e $n$ è intero positivo)

$x - y$	$x + (- y)$
$\frac{x}{y}$	$x \cdot y^{- 1}$
$x + y + z$	$(x + y) + x$
$x y z$	$(x \cdot y) \cdot z$
$n x$	$\underset{n volte}{\underset{⏟}{x + \dots + x}}$
$x^{n}$	$\underset{n volte}{\underset{⏟}{x \cdot \dots \cdot x}}$
$x^{- n}$	$(x^{- 1})^{n}$

Precisamente, $n x$ significa “sommare $x$ a se stesso $n$ volte”; l’operazione $n \mapsto n \cdot x$ si può definire ricorsivamente ponendo $0 \cdot x = 0$ e $(n + 1) \cdot x = n \cdot x + x$ . Similmente $x^{n}$ significa “moltiplicare $x$ per se stesso $n$ volte”: si veda l’esercizio 14.

Nota 165

[1ZW]Il teorema di Hurwitz [ 47 ] asserisce che se $V$ è un campo ed è anche uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare, allora $V = ℝ$ oppure $V = ℂ$ .

Definizione 166

[1ZJ] Un anello ordinato $F$ è un anello con una relazione d’ordine totale $\leq$ per la quale, per ogni $x, y, z \in F$ ,

$x \leq y \Rightarrow x + z \leq y + z$ ;
$x, y \geq 0 \Rightarrow x \cdot y \geq 0$ .

Per via di 6, se $F$ è un campo, nella seconda ipotesi potremmo equivalentemente scrivere $x, y > 0 \Rightarrow x \cdot y > 0$ . (Riguardo alla seconda ipotesi si veda anche 7) Per approfondimenti si vedano le referenze in [ 40 ] . Assumeremo che in un anello ordinato la moltiplicazione sia commutativa.

Esempi di campi ordinati sono: i numeri razionali

ℚ

i numeri reali

ℝ

. I numeri complessi

ℂ

non ammettono un ordinamento che soddisfi le proprietà sopra viste (esercizio 12).

Definizione 167

[1ZK]Un campo ordinato $F$ è archimedeo se $\forall x, y \in F$ con $x > 0, y > 0$ esiste un $n \in ℕ$ per cui $n x > y$ . (Si veda 164 per la definizione di $n x$ ).

E167

[1ZM]L’elemento neutro di un gruppo è unico. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1ZN’]

E167

[1ZP] In un gruppo, l’inverso di un elemento è unico. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1ZQ’]

E167

[29C]Fissato un elemento $g \in G$ in un gruppo, le mappe $L_{g} : G \to G$ e $R_{g} : G \to G$

L_{g} (h) = g * h, R_{g} (h) = h * g

di moltiplicazione a destra e a sinistra sono bigezioni.

E167

[1ZR]Provate ⁴ che in un gruppo:

Se $x + y = x + z$ allora $y = z$ .
Se $x + y = x$ allora $y = 0$ .
Se $x + y = 0$ allora $y = - x$ .
$- (- x) = x$ .

E167

[1ZS]Provate ⁵ che in un anello:

$0 \cdot x = 0$
$(- x) y = - (x y) = x (- y)$ .
$(- x) (- y) = x y$ .
$(- 1) x = - x$ .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’299’]

E167

[203] Considerate la proprietà

\forall x, y \in A, x \cdot y = 0 \Rightarrow x = 0 \lor y = 0

questa può essere falsa in un anello $A$ ; gli anelli per cui vale sono detti domini d’integrità [ 38 ] .

Si mostri che un campo $F$ è sempre un dominio di integrità. Conseguentemente $F ⧵ {0}$ è un gruppo commutativo per la moltiplicazione. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’204’]

E167

[1ZT] Supponiamo che in un anello $A$ vi sia un ordinamento totale $\leq$ tale che per ogni $x, y, z \in A$ si ha $x \leq y \Rightarrow x + z \leq y + z$ ; allora mostrate che sono equivalenti

$x \leq y \land 0 \leq z \Rightarrow x \cdot z \leq y \cdot z$ ;
$x \geq 0 \land y \geq 0 \Rightarrow x \cdot y \geq 0$ .

E167

[1ZV]Prerequisiti:3,5,7. Provate ⁶ che in un anello ordinato $F$ :

per ogni $x \in F, x^{2} \geq 0$ , in particolare $1 = 1^{2} > 0$ ;
$x > 0 \Rightarrow - x < 0$
$y > x \Rightarrow - y < - x$ ;
$x \leq y \land a \leq 0 \Rightarrow a \cdot x \geq a \cdot y$ ;
$x \geq a \land y \geq b \Rightarrow x + y \geq a + b$ ;
$x > a \land y \geq b \Rightarrow x + y > a + b$ ;
$x \geq a \geq 0 \land y \geq b \geq 0 \Rightarrow x \cdot y \geq a \cdot b$ ;

Provate che in un campo ordinato $F$ :

$x > a > 0 \land y > b \geq 0 \Rightarrow x \cdot y > a \cdot b$ ;
$x > 0 \Rightarrow x^{- 1} > 0$ ;
$y > x > 0 \Rightarrow x^{- 1} > y^{- 1} > 0$ ;
$x \cdot y > 0$ se e solo se $x$ e $y$ sono concordi (cioè o entrambi > 0 o entrambi < 0);

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’29B’]

E167

[1ZX] In un campo ordinato $F$ chiamiamo $P = {x \in F : x \geq 0}$ l’insieme dei numeri positivi (o nulli); soddisfa le seguenti proprietà: ⁷

$x, y \in P \Rightarrow x + y, x \cdot y \in P$ ,
$P \cap (- P) = {0}$ e
$P \cup (- P) = F$ .

viceversa se in un campo $F$ possiamo trovare un insieme $P \subseteq F$ che le soddisfi, allora $F$ è un campo ordinato ponendo $x \leq y \Leftrightarrow y - x \in P$ .

E167

[1ZY]Non tutti i campi sono insiemi infiniti. Considerate $X = {0, 1}$ e le operazioni $0 + 0 = 1 + 1 = 0$ , $0 + 1 = 1 + 0 = 1$ , $0 \cdot 0 = 0 \cdot 1 = 1 \cdot 0 = 0$ e $1 \cdot 1 = 1$ . Verificate che è un campo. Mostrate che non può essere un campo ordinato.

E167

[1ZZ]Consideriamo l’anello delle matrici $ℝ^{2 \times 2}$ poniamo

A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}),

allora verificate che

A B = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), B A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix});

concludete che l’anello delle matrici non è commutativo.

E167

[08V] Mostrate che non esiste un ordinamento $\leq$ su $ℂ$ tale che $(ℂ, \leq)$ sia un campo ordinato. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’20S’]

E167

[200] Fissiamo $N \geq 2$ intero che non sia un quadrato perfetto. Consideriamo il sottoinsieme $F$ di $ℝ$ dato dai numeri $x$ che si possono scrivere come $x = a + b \sqrt{N}$ , con $a, b \in ℚ$ ; gli associamo le operazioni di $ℝ$ : mostrate che $F$ è un campo. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’201’]

E167

[202] Sia $F$ un campo; dati $𝛼 \neq 0$ e $h \in ℕ$ considerate la definizione ricorsiva dell’elevamento a potenza $𝛼^{h}$ data da $𝛼^{0} = 1$ e $𝛼^{(n + 1)} = 𝛼^{n} \cdot 𝛼$ ; indi dimostrate che $𝛼^{h + k} = 𝛼^{h} 𝛼^{k}$ e $(𝛼^{h})^{k} = 𝛼^{(h k)}$ per ogni $k, h \in ℕ$ .

E167

[20T]Prerequisiti:14.Dato $𝛼 \neq 0$ in un campo, definite che $𝛼^{0} = 1$ e che $𝛼^{- n}$ sia l’inverso moltiplicativo di $𝛼^{n}$ quando $n \geq 1$ naturale. (Usate 14). Per $n, m \in ℤ$ mostrate che

𝛼^{n} 𝛼^{m} = 𝛼^{n + m}, (𝛼^{h})^{k} = 𝛼^{(h k)};

se il campo è ordinato e $𝛼 > 1$ mostrate che $n \mapsto 𝛼^{n}$ è strettamente monotona crescente.

E167

[205] Sia $F$ un anello commutativo, $a, b \in F$ , $n \in ℕ$ allora

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

in cui il fattore

(\binom{n}{k}) \dot{=} \frac{n!}{k! (n - k)!}

si chiama “coefficiente binomiale”. (Questo risultato è noto come il teorema binomiale, formula di Newton, binomio di Newton o sviluppo binomiale). Per dimostrarlo per induzione, verificate che

(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k + 1}) + (\binom{n}{k})

per $0 \leq k, k + 1 \leq n$ .

[UNACCESSIBLE UUID ’08W’]