5 Gruppi, Anelli, Campi[1ZD]
Vediamo brevemente queste definizioni.
[1ZF](Svolto il 2022-11-15) Un gruppo è un insieme \(G\) munito di una operazione binaria \(*\), che ad ogni coppia \(a,b∈ G\) associa un elemento \(a*b∈ G\), rispettando le seguenti proprietà
proprietà associativa: dati \(a, b, c∈ G\) vale \((a*b)*c=a*(b*c)\).
esistenza dell’elemento neutro: un elemento indicato con \(e\) tale che \(a*e=e*a=a\).
Esistenza dell’inverso: ad ogni elemento \(a∈ G\) è associato un elemento inverso \(a'\), tale che \( a*a'=a'*a=e\). L’inverso dell’elemento \(a\) è spesso indicato con \(a^{{-1}}\) (o \(-a\) se il gruppo è commutativo). 1
Un gruppo si dice commutativo (o abeliano) se vale anche \(a*b=b*a\) per ogni coppia \(a,b∈ G\).
[1ZG](Svolto il 2022-11-15) Un anello è un insieme \(A\) dotato di due operazioni binarie
\(+\) (detta somma o addizione) e
\(⋅\) (detta “moltiplicazione”, indicata anche con il simbolo \(×\) o \(*\), e spesso omesso),
tale che
\(A\) con \(+\) è un gruppo commutativo (in genere l’elemento neutro si indica con \(0\));
l’operazione \(·\) ha elemento neutro (in genere l’elemento neutro si indica con \(1\)) ed è associativa;
la moltiplicazione distribuisce sull’addizione, sia a sinistra
\[ a ⋅ (b + c) = (a · b) + (a · c) \quad ∀ a, b, c ∈ A \]sia a destra
\[ (b + c) · a = (b · a) + (c · a) \quad ∀ a, b, c ∈ A \]
Un anello si dice commutativo se la moltiplicazione è commutativa. (Nel qual caso si equivalgono le distributività a destra o a sinistra).
Esempi di anelli commutativi sono: gli interi \(ℤ\), i polinomi \(A[x]\) con coefficienti scelti in un anello commutativo \(A\).
Un esempio di anello non commutativo molto usato è dato dalle matrici \(ℝ^{n× n}\), con la loro usuale operazione di addizione e moltiplicazione.
[20R](Svolto il 2022-11-15) In genere
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si usano le scritture a sinistra al posto delle scritture a destra (dove \(x,y,z\) sono nel campo e \(n\) è intero positivo)
|
\(x-y\) |
\(x+ (-y)\) |
|
\(\frac{x} y\) |
\(x ⋅ y^{-1}\) |
|
\(x+y+z\) |
\((x+y)+x\) |
|
\(x y z\) |
\((x⋅ y)⋅ z\) |
|
\(n x\) |
\(\underbrace{x+ \ldots +x}_{n~ \hbox{volte}}\) |
|
\(x^ n\) |
\(\underbrace{x⋅ \ldots ⋅ x}_{n~ \hbox{volte}}\) |
|
\(x^{-n}\) |
\((x^{-1}) ^ n\) |
Precisamente, \(n x\) significa “sommare \(x\) a se stesso \(n\) volte”; l’operazione \(n↦ n⋅ x\) si può definire ricorsivamente ponendo \(0⋅ x=0\) e \((n+1)⋅ x= n⋅ x + x\). Similmente \(x^ n\) significa “moltiplicare \(x\) per se stesso \(n\) volte”: si veda l’esercizio 14.
[1ZJ] Un anello ordinato \(F\) è un anello con una relazione d’ordine totale \(≤\) per la quale, per ogni \(x, y, z ∈ F\),
\(x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z\);
\(x, y ≥ 0 ⇒ x · y ≥ 0 \) .
Per via di 6, se \(F\) è un campo, nella seconda ipotesi potremmo equivalentemente scrivere \(x, y {\gt} 0 ⇒ x · y {\gt} 0 \) . (Riguardo alla seconda ipotesi si veda anche 7) Per approfondimenti si vedano le referenze in [ 40 ] . Assumeremo che in un anello ordinato la moltiplicazione sia commutativa.
- E168
[1ZM]L’elemento neutro di un gruppo è unico. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1ZN’]
- E168
[1ZP] In un gruppo, l’inverso di un elemento è unico. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1ZQ’]
- E168
[29C]Fissato un elemento \(g\in G\) in un gruppo, le mappe \(L_ g:G\to G\) e \(R_ g:G\to G\)
\[ L_ g(h) = g* h ~ ,~ R_ g(h) = h * g \]di moltiplicazione a destra e a sinistra sono bigezioni.
- E168
[1ZR]Provate 4 che in un gruppo:
Se \(x + y= x + z\) allora \(y= z\).
Se \(x + y= x\) allora \(y=0\).
Se \(x + y=0\) allora \(y= -x\).
\(-(-x) = x\).
- E168
[1ZS]Provate 5 che in un anello:
\(0 · x = 0\)
\((-x)y = -(xy) = x(-y)\).
\((- x)(- y) = xy\).
\((- 1)x = -x\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’299’]
- E168
[203] Considerate la proprietà
\[ \forall x,y\in A~ ,~ x\cdot y=0 \Rightarrow x=0\lor y=0 \]questa può essere falsa in un anello \(A\); gli anelli per cui vale sono detti domini d’integrità [ 38 ] .
Si mostri che un campo \(F\) è sempre un dominio di integrità. Conseguentemente \(F⧵\{ 0\} \) è un gruppo commutativo per la moltiplicazione. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’204’]
- E168
[1ZT] Supponiamo che in un anello \(A\) vi sia un ordinamento totale \(≤\) tale che per ogni \(x, y, z ∈ A\) si ha \(x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z\); allora mostrate che sono equivalenti
\(x ≤ y \, ∧\, 0 ≤ z \quad ⇒\quad x · z ≤ y · z\);
\(x≥ 0∧ y ≥ 0 \quad ⇒\quad x · y ≥ 0 \) .
- E168
[1ZV]Prerequisiti:3,5,7. Provate 6 che in un anello ordinato \(F\):
per ogni \(x ∈ F, x^ 2 ≥ 0\) , in particolare \(1 = 1^ 2{\gt}0\);
\(x {\gt} 0 ⇒ -x {\lt} 0\)
\(y {\gt} x ⇒ -y {\lt} -x \) ;
\(x ≤ y \land a ≤ 0 ⇒ a · x ≥ a · y\) ;
\(x \ge a \land y\ge b ⇒ x + y ≥ a + b\) ;
\(x {\gt} a \land y\ge b ⇒ x + y {\gt} a + b\) ;
\(x \ge a \ge 0 \land y\ge b\ge 0 ⇒ x · y ≥ a · b\) ;
Provate che in un campo ordinato \(F\):
\(x {\gt} a {\gt} 0 \land y{\gt} b\ge 0 ⇒ x · y {\gt} a · b\) ;
\(x {\gt} 0 ⇒ x ^{−1} {\gt} 0\) ;
\(y {\gt} x {\gt} 0 ⇒ x ^{−1} {\gt} y ^{−1} {\gt} 0\) ;
\(x · y {\gt} 0\) se e solo se \(x\) e \(y\) sono concordi (cioè o entrambi > 0 o entrambi < 0);
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’29B’]
- E168
[1ZX] In un campo ordinato \(F\) chiamiamo \(P = \{ x ∈ F : x ≥ 0\} \) l’insieme dei numeri positivi (o nulli); soddisfa le seguenti proprietà: 7
\(x, y ∈ P ⇒ x + y , x · y ∈ P \),
\(P ∩ (−P ) = \{ 0 \} \) e
\(P ∪ (−P ) = F \).
viceversa se in un campo \(F\) possiamo trovare un insieme \(P⊆ F\) che le soddisfi, allora \(F\) è un campo ordinato ponendo \(x ≤ y ⇔ y−x ∈ P\).
- E168
[1ZY]Non tutti i campi sono insiemi infiniti. Considerate \(X=\{ 0,1\} \) e le operazioni \(0+0=1+1=0\), \(0+1=1+0=1\), \(0⋅0=0⋅1=1⋅0=0\) e \(1⋅1=1\). Verificate che è un campo. Mostrate che non può essere un campo ordinato.
- E168
[1ZZ]Consideriamo l’anello delle matrici \(ℝ^{2× 2}\) poniamo
\[ A={\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }\quad ,\quad B={\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }\quad , \]allora verificate che
\[ AB={\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } \quad ,\quad BA={\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }\quad ; \]concludete che l’anello delle matrici non è commutativo.
- E168
[08V] Mostrate che non esiste un ordinamento \(≤\) su \(ℂ\) tale che \((ℂ,≤)\) sia un campo ordinato. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’20S’]
- E168
[200] Fissiamo \(N≥ 2\) intero che non sia un quadrato perfetto. Consideriamo il sottoinsieme \(F\) di \(ℝ\) dato dai numeri \(x\) che si possono scrivere come \(x=a+b\sqrt N\), con \(a,b∈ℚ\); gli associamo le operazioni di \(ℝ\): mostrate che \(F\) è un campo. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’201’]
- E168
[202] Sia \(F\) un campo; dati \(𝛼≠ 0\) e \(h∈ℕ\) considerate la definizione ricorsiva dell’elevamento a potenza \(𝛼^ h\) data da \(𝛼^ 0=1\) e \(𝛼^{(n+1)}= 𝛼^ n ⋅ 𝛼\); indi dimostrate che \(𝛼^{h+k}=𝛼^ h𝛼^ k\) e \((𝛼^ h)^ k=𝛼^{(hk)}\) per ogni \(k,h∈ℕ\).
- E168
[20T]Prerequisiti:14.Dato \(𝛼≠ 0\) in un campo, definite che \(𝛼^ 0=1\) e che \(𝛼^{-n}\) sia l’inverso moltiplicativo di \(𝛼^ n\) quando \(n≥ 1\) naturale. (Usate 14). Per \(n,m∈ℤ\) mostrate che
\[ 𝛼^{n}𝛼^ m=𝛼^{n+m}\quad ,\quad (𝛼^ h)^ k=𝛼^{(hk)}\quad ; \]se il campo è ordinato e \(𝛼{\gt}1\) mostrate che \(n↦ 𝛼^ n\) è strettamente monotona crescente.
- E168
[205] Sia \(F\) un anello commutativo, \(a,b∈ F\), \(n∈ℕ\) allora
\[ (a+b)^{n}=∑ _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{{n-k}}b^{k} \]in cui il fattore
\[ \binom n k {\stackrel{.}{=}}\frac{n!}{k!(n-k)!} \]si chiama “coefficiente binomiale”. (Questo risultato è noto come il teorema binomiale, formula di Newton, binomio di Newton o sviluppo binomiale). Per dimostrarlo per induzione, verificate che
\[ {n+1 \choose k+1}={n \choose k+1}+{n \choose k} \]per \(0≤ k,k+1≤ n\).