23 (pseudo)compit(in)i[1T8]

E441

[1T9] Note:rielaborato dal compito 26 Gennaio 2016.

Sia $(q_n{)}_{n\ge 1}$ una enumerazione dei razionali di $(0,1)$ e definiamo

$$f(t)\stackrel{.}{=}{\sum }_{n:q_n<t}{2}^{-n}$$

e

$$g(t)\stackrel{.}{=}{\sum }_{n:q_n\le t}{2}^{-n}$$

per $t\in (0,1)$.

• Mostrate che $f,g$ sono strettamente crescenti.

• Calcolate i limiti per $t\downarrow 0$ e $t\uparrow 1$.

• Mostrate che $f$ è continua a sinistra, $g$ è continua a destra, e che

  $$\underset{𝜏\to t+}{lim}f(𝜏)=g(t),\underset{𝜏\to t-}{lim}g(𝜏)=f(t).$$

• Mostrate inoltre che $f$ è discontinua in $t$ se e solo se $t\in \mathbb{Q}\cap (0,1)$; e similmente per $g$.

• Cosa cambia se sostituiamo $2^{-n}$ con il termine $a_n$ di una serie assolutamente convergente?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1TB’][UNACCESSIBLE UUID ’1TC’]

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[1TD]Prerequisiti:6.Note:compito 23 giugno 2012.

Sia f una funzione di classe $C^1$ su $ℝ$, con $f(0)\ne 0$. Si dimostri che esiste $x\in ℝ$ tale che i due vettori

$$v=(x,f(x)),w=(-f^{\prime }(x),1)$$

siano linearmente dipendenti. (Notate che il vettore $w$ è ortogonale al tangente al grafico di $f$.) Si discuta la possibilità che questa condizione sia verificata per ogni $x\in ℝ$.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1TF’]

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[1TG]Note:riadattati dal compitino 9 apr 2011.

Sia $f:[0,\infty )\to ℝ$ continua e tale che

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)/x=+\infty .$$

• Fissato $a<f(0)$ sia $M_a$ l’insieme degli $m\in ℝ$ tali che la retta $y=mx+a$ intersechi il grafico $y=f(x)$ della funzione $f$ in almeno un punto: si mostri che $M_a$ ammette minimo $\hat{m}=\hat{m}(a)$;

• si mostri che $\hat{m}$ dipende in modo continuo da $a$, ¹

• e che $\hat{m}(a)$ è monotona strettamente decrescente.

• Se $f$ è derivabile, si mostri che la retta $y=\hat{m}(a)x+a$ è tangente al grafico in tutti i punti in cui lo incontra.

• Supponiamo ulteriormente che $f$ sia di classe $C^2$ e che $f^{″}(x)>0\forall x>0$ ² . Si mostri che vi è un unico punto $x$ in cui la retta $y=\hat{m}(a)x+a$ incontra il grafico $y=f(x)$; lo chiamiamo $\hat{x}=\hat{x}(a)$;

• e mostrate che le funzioni $a\mapsto \hat{x}(a)$ e $a\mapsto \hat{m}(a)$ sono derivabili.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1TH’]

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[1TJ] Argomenti:cerchio osculatore. Note:riadattati dal compitino 9 apr 2011.

Sia $f:ℝ\to ℝ$ derivabile due volte in $0$, con $f(0)=0$ e $f^{″}(0)\ne 0$. Si dimostri che esistono unici un punto $P=(a,b)$ nel piano e una costante $r>0$, tali che

$$d(P,(x,f(x)))=r+o(x^2),$$

determinando $a,b,r$ in funzione di $f^{\prime }(0),f^{″}(0)$. Si intende che $d(P,Q)$ è la distanza euclidea fra due punti $P,Q$ nel piano.

Sugg. per chiarirvi le idee, provate innanzitutto il caso in cui anche $f^{\prime }(0)=0$.

(Il grafico della funzione $f$ è una curva nel piano; per ipotesi questa curva passa per l’origine; in questo esercizio abbiamo determinato il cerchio, di raggio $r$ e centro $P$, che meglio approssima la curva nelle vicinanze dell’origine: questo cerchio è detto “cerchio osculatore”, e il suo raggio si chiama “raggio di curvatura”, e l’inverso del raggio è la “curvatura” della curva nell’origine.)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1TK’][UNACCESSIBLE UUID ’1TM’]

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[1TN]Note:Esercizio 2, Compito 4 Aprile 2009.

• Si verifichi che per ogni $t>1$ l’equazione

  $$\sin x=x^t$$

  ammette una e una sola soluzione $x>0$.

• Chiamata $f(t)$ tale soluzione, si determini l’immagine della funzione $t$ e si dimostri che è strettamente crescente e continua su $(1,+\infty )$.

• Si dimostri che $f$ si prolunga per continuità a $t=1$ e si discuta l’esistenza della derivata destra della funzione prolungata in tale punto.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1TP’]

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[1TS]Sia $f:ℝ\to ℝ$ continua e tale che $\cos (f(x))$ è derivabile: se ne può dedurre che $f$ è derivabile? Se è vero, dimostratelo; se non è vero, producete un esempio.

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[1TT]Sia $f:ℝ\to ℝ$ con $f>0$ e tale che $\log (f(x))$ è convessa: se ne può dedurre che $f$ è convessa? Se è vero, dimostratelo; se non è vero, producete un esempio.

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[1TV]Siano $f,g:ℝ\to ℝ$ di classe $C^{\infty }$, con $g>0$: mostrate che $f/g$ è di classe $C^{\infty }$.

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[1TW]Sia $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ con raggio di convergenza $𝜌>0$, e sia $f(0)=f^{\prime }(0)=\dots =f^{(n)}(0)=0$; si mostri che la funzione $g(x)=f(x)/x^n$ è estendibile a $x=0$; si mostri (l’estensione di) $g$ coincide con una opportuna serie di potenze $g(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$. Cosa si può dire del raggio di convergenza di $g$?

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[1TX]Note:Criterio di Dirichlet per gli integrali.

Siano $f,g:[0,\infty )\to ℝ$ continue, e inoltre $f$ positiva e monotona decrescente con $\underset{x\to \infty }{lim}f(x)=0$, mentre

$$\underset{x>0}{sup}|{\int }_0^{x}g(t)\mathbb{d}t|<\infty .$$

Dimostrate allora che

$$\underset{x\to \infty }{lim}{\int }_0^{x}f(t)g(t)\mathbb{d}t$$

converge.

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[1TY]Note:compitino 12/1/2013.

Dato un sottoinsieme $E$ di $\mathbb{N}$ e un intero $n\in \mathbb{N}$, l’espressione

$$\frac{\mathrm{card}(E\cap \{0,1,...,n\})}{n+1}$$

indica quale frazione del segmento $\{0,1,...,n\}$ è contenuta in E. La nozione di “densità” in $\mathbb{N}$ di $E$ è riferita al comportamento di tali frazioni al tendere di n all’infinito. Precisamente, si definiscono la densità superiore $\bar{d}(E)$ di E e la sua densità inferiore $\underset{―}{d}(E)$ come

$$\bar{d}(E)=\underset{n\to \infty }{lim sup}\frac{\mathrm{card}(E\cap \{0,1,\dots ,n\})}{n+1},$$

$$\underset{―}{d}(E)=\underset{n\to \infty }{lim inf}\frac{\mathrm{card}(E\cap \{0,1,\dots ,n\})}{n+1}.$$

Se $\bar{d}(E)=\underset{―}{d}(E)=d\in [0,1]$, si dice che E ha densità d. (Si veda anche [ 59 ] .)

1. Si dimostri che, per ogni $\alpha \in ℝ,\alpha \ge 1$, l’insieme $E_{\alpha }=[n\alpha ]:n\in N$ ha densità $d=1/\alpha$ (il simbolo $[x]$ indica la parte intera di $x\in R$).

2. Sia $E=\{m_0,m_1,\dots ,m_k,\dots \}$ un insieme infinito, con $m_0<m_1<\dots <m_k<\dots$. Si dimostri che $\bar{d}(E)=\underset{k\to \infty }{lim sup}\frac{k}{m_k}$ e $\underset{―}{d}(E)=\underset{k\to \infty }{lim inf}\frac{k}{m_k}$.

3. Si trovi un insieme E con $\bar{d}(E)=\bar{d}(\mathbb{N}⧵E)=1$.

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[1TZ] Note:esercizio 6 nel compito del 13/1/2011.

Ogni numero intero $n\ge 1$ si decompone in modo unico come $n=2^{k}d$, con $k\in N$ e $d$ intero dispari. Si consideri la successione $a_n=d/2^k$ e se ne determinino

1. limite superiore e inferiore;

2. l’insieme dei punti limite.

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[1V0] Argomenti:matrice, determinante. Note:esercizio 4 nello pseudocompitino del 14/3/2013.

1. Sia $A\in {ℝ}^{2\times 2}$ una matrice 2 per 2; identificando ${ℝ}^{2\times 2}$ con ${ℝ}^4$, si calcoli il gradiente del determinante e si verifichi che è nonnullo se e solo se la matrice è non nulla.

2. Sia $Z$ l’insieme delle matrici ${ℝ}^{2\times 2}$ con determinante nullo; mostrate che è un chiuso con parte interna vuota.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1V1’]

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[1V2]Argomenti:matrice,determinante.Difficoltà:*.

Dimostrate la formula di Jacobi:

$$\frac{d}{d{a}_{i,j}}det(A)=C_{i,j},$$

dove $a_{i,j}$ è l’elemento di $A$ in riga $i$ e colonna $j$, e $C$ è la matrice dei cofattori di $A$, che è la trasposta della matrice aggiunta $\mathrm{adj}(A)$. Conseguentemente, se $F:ℝ\to {ℂ}^{n\times n}$ è differenziabile, allora

$$\frac{d}{dt}detF(t)=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(F(t))\frac{dF(t)}{dt})$$

dove $\mathrm{tr}(X)$ è la traccia di $X$.

Sugg. usate lo sviluppo di Laplace per il determinante.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1V3’]

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[1V4]Argomenti:matrice,determinante.Prerequisiti:14.Difficoltà:*.

Vogliamo generalizzare i risultati del precedente esercizio 13 al caso di matrici $n\times n$.

Ricordiamo le seguenti proprietà del determinante delle matrici $A\in {ℝ}^{n\times n}$.

• Il rango è la dimensione dell’immagine di $A$ (vista come applicazione lineare da ${ℝ}^n$ a ${ℝ}^n$) ed è anche il massimo numero di colonne linearmente indipendenti in $A$.

• $A$ ha rango $n$ se e solo $det(A)\ne 0$.

• Se si scambiano due colonne in $A$, il determinante cambia di segno;

• se si somma a una colonna un multiplo di un altra colonna il determinante non cambia.

• La caratterizzazione del rango tramite i minori, «Il rango di A è pari al massimo ordine di un minore invertibile di A».

• lo sviluppo di Laplace del determinante, e la formula di Jacobi (cf 14).

• Il determinante di $A$ è uguale al determinante della trasposta; dunque ogni risultato precedente vale se si legge “riga” invece di “colonna”.

Si vedano anche [ 62 , 55 ] .

Mostrate i seguenti risultati.

1. Mostrate che il gradiente della funzione $det(A)$ è nonnullo se e solo se il rango di $A$ è almeno $n-1$.

2. Sia $Z$ l’insieme delle matrici ${ℝ}^{n\times n}$ con determinante nullo; mostrate che è un chiuso con parte interna vuota.

3. Sia $B$ una matrice fissata di rango al più $n-2$, mostrate che la tesi del teorema è falsa negli intorni $U_B$ della matrice $B$, nel senso che $Z\cap U_B$ non è contenuto in una superfice ³ .

[UNACCESSIBLE UUID ’1V5’]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1V6’] [1V7] Si mostri la disuguaglianza di Young: dati $a,b>0$, $p,q>1$ tali che $1/p+1/q=1$ allora

con uguaglianza se e solo se $a^p=b^q$; usando un opportuno studio di funzione.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1V8’]

Si veda anche 3. [1Q6]Determinare fra i triangoli iscritti nel cerchio unitario quello di area massima.

[UNACCESSIBLE UUID ’1Q7’]