EDB — 1TG

[1TG]Note:riadattati dal compitino 9 apr 2011.

Sia \(f:[0,∞)→ℝ\) continua e tale che

• Fissato \(a{\lt}f(0)\) sia \(M_ a\) l’insieme degli \(m∈ℝ\) tali che la retta \(y=mx+a\) intersechi il grafico \(y=f(x)\) della funzione \(f\) in almeno un punto: si mostri che \(M_ a\) ammette minimo \(\hat m=\hat m(a)\);

• si mostri che \(\hat m\) dipende in modo continuo da \(a\), ¹

• e che \(\hat m(a)\) è monotona strettamente decrescente.

• Se \(f\) è derivabile, si mostri che la retta \(y=\hat m(a) x+a\) è tangente al grafico in tutti i punti in cui lo incontra.

• Supponiamo ulteriormente che \(f\) sia di classe \(C^ 2\) e che \(f''(x){\gt}0∀ x{\gt}0\) ² . Si mostri che vi è un unico punto \(x\) in cui la retta \(y=\hat m(a) x+a\) incontra il grafico \(y=f(x)\); lo chiamiamo \(\hat x=\hat x(a)\);

• e mostrate che le funzioni \(a↦ \hat x(a)\) e \(a↦ \hat m(a)\) sono derivabili.