10.6 Topologia nella retta reale[2C6]

E296

[0S0] Mostrate che un insieme \(A⊆ℝ\) è un intervallo se e solo è convesso, se e solo se è connesso.

(Parte della dimostrazione si trova nel Teorema 5.11.3 in [ 3 ] ).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0S1’]

(Notate come in questo caso gli esercizi 1 e 8 vadano a coincidere).

E296

[0S2] Sia \(𝛼∈ℝ\), consideriamo l’insieme \(A\) dei numeri della forma \(𝛼 n + m\) con \(n,m\) interi. Si mostri che \(A\) è denso in \(ℝ\) se e solo se \(𝛼\) è irrazionale. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0S3’]

E296

[0S4]Dato \(I⊆ ℚ\) non-vuoto, mostrate che \(I\) è connesso se e solo \(I\) contiene un solo punto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0S5’]

E296

[0S6] Mostrare che ogni \(A⊂ℝ\) non-vuoto aperto è unione di una famiglia al più numerabile di intervalli aperti disgiunti. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0S7’]

E296

[0S8] Trovare un compatto \(A⊂ ℝ\) che abbia un numero numerabile di punti di accumulazione. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0S9’]

E296

[0SB]Prerequisiti:2. Mostrare che l’insieme \(A⊂ ℝ\) definito come

\[ A=\{ 0\} ∪ \{ 1/n : n∈ℕ, n≥ 1\} ∪ \{ 1/n+1/m : n,m∈ℕ, n≥ 1, m≥ 1\} \]

è compatto; identificare i suoi punti di accumulazione.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0SC’]

E296

[0SD] Difficoltà:**. Sia \(A⊂ℝ\); ricordiamo che \(D(A)\) è il derivato di \(A\) (cioè l’insieme dei punti di accumulazione di \(A\)). Descrivere un insieme chiuso \(A\) tale che gli insiemi

\[ A, D(A),D(D(A)),D(D(D(A)))\ldots \]

siano tutti diversi.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0SF’]

E296

[0SG]Prerequisiti:10, 13, 7, 286.Difficoltà:**.

Trovare un sottoinsieme A di \(ℝ\) tale che i seguenti 7 sottoinsiemi di \(ℝ\) risultino tutti distinti:

\[ A,~ ~ \overline A,~ ~ {{A}^\circ } ,~ ~ {{\left(\overline A\right)}^\circ },~ ~ \overline{\left({{A}^\circ }\right)} ,~ ~ \overline{\left({{\left(\overline A\right)}^\circ }\right)},~ ~ {{\left(\overline{\left({{A}^\circ }\right)}\right)}^\circ } ~ ~ . \]

Dimostrare inoltre che non se ne possono creare altri proseguendo nella stessa maniera (anche sostituendo \(ℝ\) con un generico spazio metrico).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0SH’]

E296

[0W6]Difficoltà:**.Si provi che non è possibile ottenere \(ℝ\), o un intervallo \(D ⊆ ℝ\), come unione numerabile di intervalli chiusi e limitati, a due a due disgiunti.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0W7’] [UNACCESSIBLE UUID ’0W8’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0SJ’][UNACCESSIBLE UUID ’0SK’]