6.2 Frequentemente, definitivamente[29K]
Scriveremo \(\overline{ℝ}\) per \(ℝ∪\{ ±∞\} \).
[0BG] Dato \(A⊆ ℝ\), un punto \(x∈ \overline{ℝ}\) si dice punto di accumulazione per \(A\) se ogni intorno “bucato” di \(x\) interseca \(A\).
[0B3] Sia \(I⊆ ℝ\) un insieme, \(x_ 0∈\overlineℝ\) punto di accumulazione per \(I\). Sia P(x) una proposizione logica che possiamo valutare per \(x∈ I\). Definiamo che
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“P(x) vale definitivamente per \(x\) tendente a \(x_ 0\)” se |
esiste un intorno \(U\) di \(x_ 0\) \(∀ x∈ U∩ I, \) vale P(x) ; |
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“P(x) vale frequentemente per \(x\) tendente a \(x_ 0\)” se |
per ogni intorno \(U\) di \(x_ 0\) \(∃ x∈ U∩ I\) per cui P(x) ; |
dove si intende che gli intorni sono “bucati”.
[22X]Se \(x_ 0∈\overlineℝ\) non è punto di accumulazione per \(I\), allora si ha sempre che “\(P(x)\) vale definitivamente per \(x\) tendente a \(x_ 0\)” .
[20C]Supponiamo per semplicità che \(I=ℝ\). Mettendo insieme le idee precedenti, possiamo scrivere equivalentemente:
se \(x_ 0∈ℝ\),
\(∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x≠ x_ 0, |x-x_ 0|{\lt}𝛿⇒ P(x)\)
\(P(x)\) vale definitivamente per \(x\) tendente a \(x_ 0\)
\(∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x≠ x_ 0, |x-x_ 0|{\lt}𝛿∧ P(x)\)
\(P(x)\) vale frequentemente per \(x\) tendente a \(x_ 0\)
nel caso in cui \(x_ 0=∞\)
\(∃ y∈ℝ, ∀ x, x{\gt}y⇒ P(x)\)
\(P(x)\) vale definitivamente per \(x\) tendente a \(∞\)
\(∀ y∈ℝ, ∃ x, x{\gt}y ∧ P(x)\)
\(P(x)\) vale frequentemente per \(x\) tendente a \(∞\)
e similmente \(x_ 0=-∞\)
\(∃ y∈ℝ, ∀ x, x{\lt}y⇒ P(x)\)
\(P(x)\) vale definitivamente per \(x\) tendente a \(-∞\)
\(∀ y∈ℝ, ∃ x, x{\lt}y∧ P(x)\)
\(P(x)\) vale frequentemente per \(x\) tendente a \(-∞\)