4.7 Frequentemente, definitivamente[26G]
Siano \(ℕ\) i numeri naturali.
[018](Svolto il 2022-10-27) Sia P(n) una proposizione logica che dipende da una variabile libera \(n∈ℕ\). Diremo che
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P(n) vale definitivamente in \(n\) se |
\(∃ m∈ ℕ, ∀ n∈ ℕ\) con \(n≥ m\) vale P(n) ; |
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P(n) vale frequentemente in \(n\) se |
\(∀ m∈ ℕ, ∃ n∈ ℕ\) con \(n≥ m\) per cui P(n) vale. |
- E161
[019] Notate che «P(n) vale definitivamente in \(n\)» implica «P(n) vale frequentemente in \(n\)».
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’01B’]
- E161
[01C] Notate che «(non P(n)) vale frequentemente in \(n\)» se e solo se «non (P(n) vale definitivamente in \(n\) )».
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’01D’]
- E161
[01F] Notate che «P(n) vale frequentemente in \(n\)» se e solo se «P(n) vale per un numero infinito di \(n\)».
(Questa equivalenza non è vera in un qualunque insieme ordinato. Si veda invece 1 per la corretta formulazione).
- E161
[01G] (Svolto il 2022-10-27// in parte) Siano ora \(P(n),Q(n)\) due proposizioni.
Dite quali implicazioni vi sono fra
“\((P(n)∧ Q(n))\) vale definitivamente” e
“\(P(n)\) vale definitivamente e \(Q(n)\) vale definitivamente”.
Similmente per le proposizioni
“\((P(n)∨ Q(n))\) vale definitivamente” e
“\(P(n)\) vale definitivamente oppure \(Q(n)\) vale definitivamente”.
Formulate inoltre simili risultati per la nozione di “frequentemente”.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’01H’]
- E161
[29G]Siano \(P(n),Q(n)\) due proposizioni. Se “\(P(n)\) vale definitivamente e \(Q(n)\) vale frequentemente” allora “\((P(n)∧ Q(n))\) vale frequentemente”.