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11.5 Norme di matrici [2CN]

Siano $p, q \in [1, \infty]$ ; usiamo nel seguito le norme $| x |_{p}$ definite in eqn. ??.

Definizione 338

[11G] Sia $A \in ℝ^{m \times n}$ una matrice; considerandola come una applicazione lineare fra gli spazi normati $(ℝ^{n}, | |_{p})$ e $(ℝ^{m}, | |_{q})$ , definiamo di nuovo la norma indotta come

‖ A ‖_{p, q} \dot{=} max_{x \in ℝ^{n}, | x |_{p} \leq 1} | A x |_{q}

339

(Notate che il massimo è sempre raggiunto in un punto con $| x |_{p} = 1$ ).

La norma $‖ A ‖_{2, 2}$ è detta la norma spettrale. .

Definizione 340

[11H] Definiamo inoltre le norme

‖ A ‖_{F - \tilde{p}} = {\begin{cases} \sqrt[\tilde{p}]{\sum_{i, j} | A_{i, j} |^{\tilde{p}}} & \tilde{p} < \infty, \\ max_{i, j} | A_{i, j} | & \tilde{p} = \infty \end{cases}

per $\tilde{p} \in [1, \infty]$ . Il caso $\tilde{p} = 2$ è detto norma di Frobenious.

E342

[11J] Prerequisiti:324.Notate che le norme $‖ A ‖_{p, q}$ e $‖ A ‖_{F - \tilde{p}}$ sono tutte equivalenti.

E342

[11K] Prerequisiti:4.Consideriamo matrici quadrate, cioè $n = m$ . Sappiamo da 4 che le norme $‖ A ‖_{p, q}$ sono submoltiplicative, cioè $‖ A B ‖_{p, q} \leq ‖ A ‖_{p, q} ‖ A ‖_{p, q}$ .

Mostrate che anche la norma di Frobenious $‖ A ‖_{F - 2}$ è submoltiplicativa.

Notate che per una norma submoltiplicativa si ha che $‖ A^{k} ‖ \leq ‖ A ‖^{k}$ per ogni $k$ naturale.

E342

[11M] Mostrate che

{‖ A ‖}_{1, 1} = max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{m} | A_{i, j} |,

{‖ A ‖}_{\infty, \infty} = max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j = 1}^{n} | A_{i, j} | .

E342

[11N]Se $A \in ℂ^{m \times n}$ possiamo definire le norme indotte

‖ A ‖_{p, q} \dot{=} max_{x \in ℂ^{n}, | x |_{p} \leq 1} | A x |_{q} .

343

Mostrate che $‖ A ‖_{p, q} = ‖ \overset{―}{A} ‖_{p, q}$ .

E342

[11P]Mostrate che se $A \in ℝ^{m \times n}$ si ha

max_{x \in ℝ^{n}, | x |_{2} \leq 1} | A x |_{2} = max_{x \in ℂ^{n}, | x |_{2} \leq 1} | A x |_{2} .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’11Q’]