12.5 Norme di matrici [2CN]

Siano \(p,q∈[1,∞]\); usiamo nel seguito le norme \(|x|_ p\) definite in eqn. ??.

Definizione 339

[11G] Sia \(A∈ℝ^{m× n}\) una matrice; considerandola come una applicazione lineare fra gli spazi normati \((ℝ^ n,||_ p)\) e \((ℝ^ m,||_ q)\), definiamo di nuovo la norma indotta come

\begin{equation} \| A\| _{p,q}{\stackrel{.}{=}}\max _{x∈ℝ^ n~ ,~ |x|_ p≤ 1} |Ax|_ q\label{eq:norme_ matrici} \end{equation}
340

(Notate che il massimo è sempre raggiunto in un punto con \(|x|_ p=1\)).

La norma \(\| A\| _{2,2}\) è detta la norma spettrale. .

Definizione 341

[11H] Definiamo inoltre le norme

\[ \| A\| _{F-\tilde p}= \begin{cases} \sqrt[\tilde p]{∑_{i,j} |A_{i,j}|^{\tilde p}} & \tilde p {\lt}∞~ ~ ~ ,\\ \max _{i,j} |A_{i,j}| & \tilde p =∞ \end{cases} \]

per \(\tilde p∈[1,∞]\). Il caso \(\tilde p=2\) è detto norma di Frobenious.

E343

[11J] Prerequisiti:325.Notate che le norme \(\| A\| _{p,q}\) e \(\| A\| _{F-\tilde p}\) sono tutte equivalenti.

E343

[11K] Prerequisiti:4.Consideriamo matrici quadrate, cioè \(n=m\). Sappiamo da 4 che le norme \(\| A\| _{p,q}\) sono submoltiplicative, cioè \(\| A B\| _{p,q}≤ \| A\| _{p,q} \| A\| _{p,q} \).

Mostrate che anche la norma di Frobenious \(\| A\| _{F-2}\) è submoltiplicativa.

Notate che per una norma submoltiplicativa si ha che \(\| A^ k\| ≤ \| A\| ^ k\) per ogni \(k\) naturale.

E343

[11M] Mostrate che

\[ \left\| A \right\| _{1,1} = \max _{1 ≤ j ≤ n} ∑ _{i=1} ^ m | A_{i,j} |, \]
\[ \left\| A \right\| _{∞,∞} = \max _{1 ≤ i ≤ m} ∑ _{j=1} ^ n | A_{i,j} |~ ~ . \]
E343

[11N]Se \(A∈ℂ^{m× n}\) possiamo definire le norme indotte

\begin{equation} \| A\| _{p,q}{\stackrel{.}{=}}\max _{x∈ℂ^ n~ ,~ |x|_ p≤ 1} |Ax|_ q~ ~ .\label{eq:norme_ matrici_ C} \end{equation}
344

Mostrate che \(\| A\| _{p,q} = \| \overline A\| _{p,q}\).

E343

[11P]Mostrate che se \(A∈ℝ^{m× n}\) si ha

\[ \max _{x∈ℝ^ n, |x|_ 2≤ 1} |Ax|_ 2=\max _{x∈ℂ^ n, |x|_ 2≤ 1} |Ax|_ 2~ ~ . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’11Q’]