12.4 Norme di applicazioni lineari[2CM]

Siano nel seguito \((X,\| \| _ X)\) e \((Y,\| \| _ Y)\) spazi normati; sia \(A:X→ Y\) un’applicazione lineare; definiamo la norma indotta come

E338

[11B]Mostrate che \(\| A\| _{X,Y}{\lt}∞\) se e solo se \(A\) è continua.

E338

[11C]Notate che se \(X\) ha dimensione finita allora ogni applicazione lineare è continua, e

\[ \| A\| _{X,Y}= \max _{x∈ X~ ,~ \| x\| _ X≤ 1} \| Ax\| _ Y~ ~ . \]

E338

[11D]Sia \({\mathcal L}(X,Y)\) lo spazio di tutte le applicazioni lineari continue. Mostrate che \(\| ⋅ \| _{X,Y}\) è una norma in \({\mathcal L}(X,Y)\).

E338

[11F] Sia \((Z,\| \| _ Z)\) un ulteriore spazio normato, e \(B:Y→ Z\) una applicazione lineare. Definiamo similmente

\[ \| B\| _{Y,Z}{\stackrel{.}{=}}\sup _{y∈ Y~ ,~ \| y\| _ Y≤ 1} \| B y \| _ Z\quad ; \]

mostrate che

\[ \| A B\| _{X,Z} ≤ \| A\| _{X,Y} \| B\| _{Y,Z}~ ~ . \]