12.6 Somma di Minkowski[2CP]

Sia nel seguito \(X\) uno spazio vettoriale normato con norma \(\| ⋅\| \).

Definizione 345

[11R] Sia \(X\) uno spazio vettoriale, e siano \(A,B⊆ X\). Definiamo la somma di Minkowski \(A ⊕ B⊆ X \) come

\[ A ⊕ B=\{ x+y : x∈ A, y∈ B\} ~ ~ . \]

Nel seguito, dati \(A⊆ X,z∈ X\) indicheremo con \(A+z=\{ b+z:b∈ B\} \) la traslazione di \(A\) nella direzione \(z\).

E345

[11S]Prerequisiti:345.Mostrate che la somma è associativa ed è commutativa; e che la somma ha un unico elemento neutro, che è l’insieme \(\{ 0 \} \) costituito dalla sola origine.

E345

[11T] Prerequisiti:345.Se \(A\) è aperto mostrate che \(A⊕B\) è aperto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’11V’]

E345

[11W]Prerequisiti:345.Se \(A,B\) sono compatti mostrate che \(A⊕B\) è compatto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’11X’]

E345

[11Y]Prerequisiti:345.Se \(A\) è chiuso e \(B\) è compatto, mostrate che \(A⊕B\) è chiuso. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’11Z’]

E345

[120]Prerequisiti:345.Mostrate un esempio dove \(A,B\) sono chiusi ma \(A⊕B\) non è chiuso. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’121’]

E345

[122] Prerequisiti:345.Se \(A,B\) sono convessi mostrate che \(A⊕B\) è convesso. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’123’]

Si vedano anche gli esercizi 4 e 2.