10.4 Funzione distanza[2C4]

E293

[0R9]Argomenti:funzione distanza.

1. Mostrate che \(d_ A\) è Lipschitziana.

2. Mostrate che \(d_ A≡ d_{\overline A}\).

3. Mostrate che \(\{ x,d_ A(x)=0\} =\overline A\).

4. Se \(M=ℝ^ n\) e \(A\) è chiuso non-vuoto, mostrate che l’inf in ?? è un minimo.

Si veda anche 1 e 2. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RB’]

E293

[0RC] Argomenti:insieme ingrassato.Prerequisiti:1.

Consideriamo uno spazio metrico \((M,d)\). Sia \(A⊆ M\) chiuso e non-vuoto, sia \(r{\gt}0\) fissato, e sia \(d_ A\) la funzione distanza definita come in eqn. ??. Sia poi \(E=\{ x,d_ A(x)≤ r\} \), notate che è chiuso.

1. Mostrate che

   \begin{equation} d_ E(x)≥ \max \{ 0, (d_ A(x)-r)\} ~ ~ .\label{eq:d_ E_ d_ A_ r} \end{equation}

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2. Mostrate che in ?? si ha uguaglianza se \(M=ℝ^ N\).

3. Date un semplice esempio di spazio metrico in cui non si ha uguaglianza in ??.

4. Se \(M=ℝ^ n\), dato \(A⊂ ℝ^ n\) chiuso non-vuoto, mostrate che \(E=A ⊕ D_ r\) dove \(D_ r{\stackrel{.}{=}}\{ x, |x|≤ r\} \) e

   \[ A ⊕ B{\stackrel{.}{=}}\{ x+y,x∈ A, y∈ B\} \]

   è la somma di Minkowski dei due insiemi (si anche veda la sezione 12.6).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RD’] L’insieme \(\{ x,d_ A(x)≤ r\} =A ⊕ D_ r\) è alle volte chiamato “ingrassato” di \(A\). In figura 3 vediamo un esempio di insieme \(A\) ingrassato per \(r=1,2\); l’insieme \(A\) è il poligono nero (che è pieno) mentre le linee tratteggiate nel disegno indicano i contorni degli insiemi ingrassati. ¹ Si vedano anche le proprietà in sezioni 12.6 e 12.7.