8.10 Spazi non primo-numerabili[2BM]

E268

[0MM] 1 Prerequisiti:2,265.Difficoltà:*.Sia \(Ω\) un insieme non vuoto; consideriamo \(X={\mathbb {R}}^Ω\).

  1. Siano

    \[ U^ f_{E,𝜌}=\{ g∈ X, ∀ x∈ E, |f(x)-g(x)|{\lt}𝜌\} \]

    dove \(f∈X\), \(𝜌{\gt}0\) e \(E⊂ Ω\) finito. Mostrate che la famiglia di questi \(U^ f_{E,𝜌}\) soddisfa i requisiti di 2, ed è dunque una base per una topologia \(𝜏\) (Sugg. usate 2). Questa topologia è la topologia prodotto delle topologie di \(ℝ\).

    In particolare per ciascun \(f\in X\) gli insiemi \(U^ f_{E,𝜌}\) sono un sistema fondamentale di intorni.

  2. Verificate che la topologia è \(T_ 2\).

  3. Notate che \(X\) è uno spazio vettoriale, e mostrate che l’operazione di somma è continua, come operazione \(X× X→ X\); a questo scopo, mostrate che se \(f,g\in X,h=f+g\), per ogni intorno \(V_ h\) di \(h\) esistono intorni \(V_ f,V_ g\) di \(f,g\) tali che \(V_ f+V_ g\subseteq V_ h\).

  4. Dati \(B_ i⊂ℝ\) aperti non-vuoti , uno per ciascun \(i∈Ω\), mostrate che \(∏_ i B_ i\) è aperto se e solo se \(B_ i=ℝ\) salvo al più finiti \(i\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0MN’]

E268

[2BP] Prerequisiti:265,1,261.Difficoltà:*.Sia \(Ω\) un insieme infinito più che numerabile; consideriamo \(X=ℝ^Ω\) con la topologia \(𝜏\) vista in 1.

  1. Mostrate che ogni punto in \((X,𝜏)\) non ammette un sistema fondamentale numerabile di intorni.

  2. Posto

    \begin{equation} C{\stackrel{.}{=}}\{ f∈ X, f(x)≠ 0 \text{~ per al più numerabili ~ } x∈Ω\} \label{eq:C} \end{equation}
    269

    mostrate che si ha \(\overline C=X\);

  3. che se \((f_ n)⊂ C\) e \(f_ n→ f\) puntualmente allora \(f∈ C\).

  4. Sia \(I\) l’insieme di tutti i sottoinsiemi finiti di \(Ω\), questo è un insieme filtrante se ordinato per inclusione; consideriamo la rete

    \[ 𝜑:I→ X\quad ,𝜑(A) = {\mathbb 1}_ A \]

    si ha che \(∀ A∈ I,𝜑(A)∈ C\) ma

    \[ \lim _{A∈ I} 𝜑(A) = {\mathbb 1}_ X∉ C\quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2BQ’]

E268

[0MP]Difficoltà:*.Restringiamo la topologia descritta nell’esempio precedente all’insieme \(Y=[0,1]^{[0,1]}\) (cioè, restringiamo \(ℝ\) a \([0,1]\), e poniamo \(Ω=[0,1]\)). Trovate una successione \((f_ n)⊂ Y\) che non ammetta una sottosuccessione convergente.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0MQ’]

Ricordiamo la definizione 252: uno spazio \(X\) è “compatto per ricoprimenti” se, per ogni \((A_ i)_{i∈ I}\) famiglia di aperti tale che \(⋃_{i∈ I}A_ i= X\), esiste una sotto famiglia finita \(J⊂ I\) tale che \(⋃_{i∈ J}A_ i= X\). Sappiate che, per un importante teorema dovuto a Tychonoff, questo spazio \(Y\) è “compatto per ricoprimenti”. Questo esercizio vi mostra invece che \(Y\) non è “compatto per successioni”.