EDB — 2BP

[2BP] Prerequisiti:[0KK]↺↻,[0MM]↺↻,[0K4]↺↻.Difficoltà:*.Sia \(Ω\) un insieme infinito più che numerabile; consideriamo \(X=ℝ^Ω\) con la topologia \(𝜏\) vista in [0MM]↺↻.

1. Mostrate che ogni punto in \((X,𝜏)\) non ammette un sistema fondamentale numerabile di intorni.

2. Posto

   \begin{equation} C{\stackrel{.}{=}}\{ f∈ X, f(x)≠ 0 \text{~ per al più numerabili ~ } x∈Ω\} \label{eq:C} \end{equation}

   102

   mostrate che si ha \(\overline C=X\);

3. che se \((f_ n)⊂ C\) e \(f_ n→ f\) puntualmente allora \(f∈ C\).

4. Sia \(I\) l’insieme di tutti i sottoinsiemi finiti di \(Ω\), questo è un insieme filtrante se ordinato per inclusione; consideriamo la rete

   \[ 𝜑:I→ X\quad ,𝜑(A) = {\mathbb 1}_ A \]

   si ha che \(∀ A∈ I,𝜑(A)∈ C\) ma

   \[ \lim _{A∈ I} 𝜑(A) = {\mathbb 1}_ X∉ C\quad . \]