EDB — 0MM

[0MM] ¹ Prerequisiti:[2F7]↺↻,[0KK]↺↻.Difficoltà:*.Sia \(Ω\) un insieme non vuoto; consideriamo \(X={\mathbb {R}}^Ω\).

1. Siano

   \[ U^ f_{E,𝜌}=\{ g∈ X, ∀ x∈ E, |f(x)-g(x)|{\lt}𝜌\} \]

   dove \(f∈X\), \(𝜌{\gt}0\) e \(E⊂ Ω\) finito. Mostrate che la famiglia di questi \(U^ f_{E,𝜌}\) soddisfa i requisiti di [0KZ]↺↻, ed è dunque una base per una topologia \(𝜏\) (Sugg. usate [2F7]↺↻). Questa topologia è la topologia prodotto delle topologie di \(ℝ\).

   In particolare per ciascun \(f\in X\) gli insiemi \(U^ f_{E,𝜌}\) sono un sistema fondamentale di intorni.

2. Verificate che la topologia è \(T_ 2\).

3. Notate che \(X\) è uno spazio vettoriale, e mostrate che l’operazione di somma è continua, come operazione \(X× X→ X\); a questo scopo, mostrate che se \(f,g\in X,h=f+g\), per ogni intorno \(V_ h\) di \(h\) esistono intorni \(V_ f,V_ g\) di \(f,g\) tali che \(V_ f+V_ g\subseteq V_ h\).

4. Dati \(B_ i⊂ℝ\) aperti non-vuoti , uno per ciascun \(i∈Ω\), mostrate che \(∏_ i B_ i\) è aperto se e solo se \(B_ i=ℝ\) salvo al più finiti \(i\).