7.1 Successioni

Sia \((a_ n)_{n∈ℕ}⊆ ℝ\) una successione di numeri reali (come definita in in 74).

Dato \(N∈ ℕ\) nel seguito scriveremo \(\sup _{n≥ N} a_ n\) invece di \(\sup \{ a_ N,a_{N+1}\ldots \} \), e analogamente per l’estremo inferiore. (Questo è in accordo con quanto discusso in 188)

E210

[0CP] Prerequisiti:187.
Si ha che \(\sup _{n≥ N} a_ n=𝜎∈ \overlineℝ\) se e solo se

\begin{eqnarray} & & ∀ n≥ N, a_ n≤ 𝜎 \label{eq:sup_ con_ ge_ L} \quad \text{e}\\ & & ∀ L{\lt} 𝜎, ∃ n≥ N, a_ n {\gt}L \label{eq:sup_ con_ le_ L} \end{eqnarray}

(notate che se \(𝜎=∞\) la prima è banalmente vera, mentre se \(𝜎=-∞\) quest’ultima è vera perché non vi sono \(L\)).

Soluzione. 213

[0CQ]Segue dalla caratterizzazione 183.

E210

[0CR] Sia \((a_ n )_{n∈ℕ}\) una successione con \(a_ n ∼ n^ n\) . Si dimostri che, posto \( s_ n{\stackrel{.}{=}}∑_{k=0}^ n a_ n\) si ha \(s_ n ∼ a_ n\) .

E210

[0CS] Siano \(e_ n,d_ n\) due successioni reali tali che \(d_ n≤ e_ n\) per ogni \(n\), e supponiamo che \(\limsup _ n e_ n=\liminf _ n d_ n=b\) (possibilmente infinito): mostrate allora che \(\lim _ n e_ n=\lim _ n d_ n=b\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0CT’]

E210

[0CV]Prerequisiti:3,2.(Svolto il 2022-11-24) Siano \(a_ n,b_ n\) successioni a valori reali, mostrate che

\[ \limsup _{n→∞} (a_ n+b_ n) ≤ (\limsup _{n→∞} a_ n) + (\limsup _{n→∞} b_ n)~ ~ ; \]

trovate un caso in cui la disuguaglianza è stretta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0CW’]

E210

[0CX] Difficoltà:*.

Sia \(a_{n,m}\) una successione reale ¹ a due indici \(n,m∈ℕ\). Supponiamo che

• per ogni \(m\) esista il limite \(\lim _{n→ ∞} a_{n,m}\), e che

• esista finito il limite \(\lim _{m→ ∞} a_{n,m}=b_ n\) uniformemente in \(n\), cioè

  \[ ∀ \varepsilon {\gt}0 ,~ ∃ m∈ℕ~ ∀ n∈ℕ ,~ ∀ h≥ m ~ ~ | a_{n,h}-b_ n|{\lt}\varepsilon ~ ~ . \]

allora

\begin{equation} \lim _{n→ ∞} \lim _{m→ ∞} a_{n,m}= \lim _{m→ ∞} \lim _{n→ ∞} a_{n,m}\label{eq:limlimlimlim} \end{equation}

214

nel senso che se uno dei due limiti esiste (possibilmente infinito), allora esiste anche l’altro, e sono uguali.

Trovate un semplice esempio in cui i due limiti in 214 sono infiniti.

Trovate un esempio in cui \(\lim _{m→ ∞} a_{n,m}=b_ n\) ma il limite non è uniforme e la precedente uguaglianza 214 non vale.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0CZ’]

E210

[0D0]Prerequisiti:5,3.Sia di nuovo \(a_{n,m}\) una successione reale a due indici \(n,m∈ℕ\); supponiamo che, per ogni \(n\), esista finito il \(\lim _{m→ ∞} a_{n,m}=b_ n\) uniformemente in \(n\), e che esista finito il \(\lim _ n b_ n\). Si può concludere che esistono i limiti \(\lim _{n→ ∞}a_{n,m}\) per ogni fissato \(m\)? Sapete scrivere un’uguaglianza come in eqn. 214 in cui però a destra si usino i limiti superiori o inferiori di \(a_{n,m}\) per \(n→ ∞\), al posto dei limiti \(\lim _{n→ ∞}a_{n,m}\)?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0D1’]

E210

[0D2]Difficoltà:*. Mostrate che da ogni successione \((a_ n)_ n\) si può estrarre una sottosuccessione monotona. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0D3’]

E210

[0D4]Difficoltà:*. Mostrate che da ogni successione \((a_ n)_ n⊆ ℝ\) si può estrarre una sottosuccessione monotona per cui

\[ \lim _{k→∞}a_{n_ k}=\limsup _{n→∞} a_ n \quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0D5’]

E210

[0D6]Argomenti:costante di Eulero-Mascheroni.Prerequisiti:4.

Mostrate che esiste finito il limite

\[ 𝛾 = \lim _{n → ∞ } \left( ∑_{k=1}^ n \frac 1{k} - \log ( n) \right)\quad . \]

Questa \(𝛾\) è detta Costante di Eulero - Mascheroni. Si può definire in moltissimi modi diversi (si veda il link precedente) fra cui

\[ 𝛾 = ∫_ 1^∞\left(\frac{1}{⌊ x⌋}-\frac{1}{x}\right)\, {\mathbb {d}}x \]

dove le parentesi \(⌊ ⋅ ⌋\) indicano la funzione parte intera \(⌊ x ⌋{\stackrel{.}{=}}\max \{ n∈ℤ :n≤ x\} \). Nella immagine 1 la costante \(𝛾\) è l’area blu.

Immagine di William Demchick, Creative Commons Attribution 3.0 Unported License, tratta da wikipedia.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0D8’]

E210

[0D9]Note:Ese 5 del compito gennaio 2010.

Sia \(a_ k = \sqrt[3]{ k^ 3 + k} − k\). Dimostrare che

\[ ∑_{k=1}^ n a_ k ∼ \frac{1}{3} \log (n) \]

nel senso che il rapporto fra queste due successioni tende a \(1\) quando \(n → ∞\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0DB’][UNACCESSIBLE UUID ’0DC’]

E210

[0DD]Note:Esercizio 1 del compito 9 Aprile 2011.Sia \((a_ n)\) una successione di numeri reali, con \(a_ n≥ 0\).

1. Si mostri che se \( ∑_{n=1}^∞ a_ n\) converge allora convergono anche

   \[ ∑_{n=1}^∞ a_ n^ 2 \quad \hbox{e} \quad ∑_{n=1}^∞ \left(a_ n ∑_{m=n+1}^∞ a_ m\right) \]

2. Assumendo inoltre \(∑_{n=1}^∞ a_ n\) convergente, poniamo

   \[ a=∑_{n=1}^∞ a_ n ~ ~ ,~ ~ b=∑_{n=1}^∞ \left(a_ n ∑_{m=n+1}^∞ a_ m \right)~ ~ ,~ ~ c=∑_{n=1}^∞ a_ n^ 2 \]

   si mostri allora che \(a^ 2=2b+c\).

Sommazione per parti

E216

[217]Siano \((a_ n)_ n,(b_ n)_ n\) successioni di numeri reali e sia \(c_ n\) definita come da 233; siano poi

\[ A_ n=∑_{h=0}^ n a_ h~ ~ ,~ ~ B_ n =∑_{h=0}^ n b_ h ~ ~ ,~ ~ C_ n=∑_{h=0}^ n c_ h \]

le somme parziali delle tre serie, supponiamo che \(∑_{n=0}^∞ b_ n=B\) sia convergente: si mostri che

\[ C_ n=∑_{i=0}^ n a_{n-i}B_ i=∑_{i=0}^ n a_{n-i}(B_ i-B)+A_ nB \quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’216’]

E216

[21H]Note:Tratto da Rudin [ 23 ] Prop. 3.41.

Siano \((a_ n)_ n(b_ n)_ n,\) successioni, sia \(A_ n=∑_{k=0}^ n a_ k\) e \(A_{-1}=0\), \(0≤ p ≤ q\), allora

\[ ∑_{n=p}^{q} a_ n b_ n = ∑_{n=p}^{q-1} A_ n (b_ n- b_{n+1}) + A_ q b_ q - A_{p-1} b_ p \quad . \]