3.5 Funzioni[1YR]
La definizione di funzione si può riportare alla teoria degli insiemi in questo modo.
[1Y6] Dati due insiemi \(A,B\), una funzione \(f:A→ B\) è una terna
(dove \(A\) viene detto dominio e \(B\) codominio) e \(F\) è una relazione \(F⊆ A× B\) tale che
cioè gode delle proprietà di essere funzionale e totale (definite in 46).
Essendo l’elemento \(y\) unico, possiamo usare la scrittura \(y=f(x)\) per dire appunto che \(y\) è l’unico elemento in relazione \(xFy\) con \(x\).
[16G] Dati insiemi non vuoti \(I,A\), una successione con indici in \(I\) e a valori in \(A\) è una funzione \(a:I→ A\); si usa la notazione \(( a_ n )_{ n ∈ I}\) . Per indicare il codominio, si usa anche la notazione \( ( a_ n )_{ n ∈ I}⊆ A\) . In questo testo si avrà spesso \(I=ℕ\), e in questo caso scriveremo semplicemente \((a_{n})\).
Nella pratica, la definizione di funzione si scrive sempre come \(f:A→ B\); per questo il grafico viene definito come
[08X]Sia \(A\) insieme non vuoto, siano \(f:A→\{ 0,1\} \) e \(g:A→\{ 1\} \) entrambe date da \(f(x)=g(x)=1\) per ogni \(x∈ A\).
Siano \(F,G\) rispettivamente i grafici: notate che \(F=G\) (!) Diremo che \(f=g\) oppure no? Si sceglie il no, altrimenti il concetto di “surgettivo” non avrebbe senso.
Per questo nella definizione abbiamo deciso che la funzione è la terna “dominio”, “codominio”, “relazione”.
- E75
[1WQ]Mostrate che la composizione di due funzioni iniettive è una funzione iniettiva.
- E75
[1WR]Mostrate che la composizione di due funzioni surgettive è una funzione surgettiva.
- E75
[1WS]Sia \(f:ℕ→ℕ\) una assegnata funzione e \(I\) la sua immagine, dimostrate che esiste \(A⊆ ℕ\) tale che \(f|_{A}\) è iniettiva e \(f(A)=I\). (Sugg. può essere utile sapere che l’usuale ordinamento di \(ℕ\) è un buon ordinamento cf 103 e 146).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1WT’]
Nota: il risultato è vero per qualunque funzione \(f:A→ B\), ma la dimostrazione richiede l’assioma della scelta.
- E75
[08Y](Proposto il 2022-12) Siano \(I,J⊆ ℝ\) e sia \(f:I→ J\) data da \(f(x)=\sin (x)\). Scegliendo \(I=ℝ\) o \(I=[0,𝜋/2]\) oppure \(I=[-𝜋/2,𝜋/2]\), e scegliendo \(J=ℝ\) o \(J=[-1,1]\), dite per quali scelte \(f\) è surgettiva, e per quali è iniettiva.
(Questo esercizio serve a farvi riflettere sulla differenza fra “formula” e “funzione”.)
- E75
[1X3] Siano \(A,B⊆ ℝ\) e sia \(f:A→ B\) definita dalla formula \(f(x)=x^ 2\); dite se, per le seguenti scelte di \(A,B\), la funzione \(f\) è iniettiva e/o surgettiva.
\(A=ℝ,B=ℝ\)
\(A=ℝ,B=[0,∞)\)
\(A=[0,∞),B=ℝ\)
\(A=[0,∞),B=[0,∞)\)
Se la funzione è bigettiva, come si chiama comunemente la sua inversa?
(Questo esercizio serve a farvi riflettere sulla differenza fra “formula” e “funzione”.)
- E75
[1X4]Date \(f,g:ℕ → ℕ\) definite da \(f(n)=n^ 2-1\) e \(g(n)=(n+1)^ 2\), scrivete esplicitamente \(f◦ g\) e \(g◦ f\), dite se coincidono o sono funzioni diverse.
- E75
[1X5]Trovate un esempio di \(f,g:ℕ → ℕ\) per cui si ha \(f◦ g≡ g◦ f\), ma né \(f\) né \(g\) sono bigettive.
- E75
[1X6]Sia \(f:ℝ→ℝ\) bigettiva, sia \(F⊆ ℝ^ 2\) il suo grafico; sia \(f^{-1}\) l’inversa di \(f\) e sia \(G\) il suo grafico; mostrate che \(G\) è il simmetrico di \(F\) rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
- E75
[091] Siano \(D,C\) insiemi non vuoti e \(f:D→ C\) una funzione. Siano \(I\) una famiglia nonvuota di indici, \(B_ i⊆ C\) per \(i∈ I\). Dato \(B⊆ C\) ricordiamo che la controimmagine di \(B\) è
\[ f^{-1}(B){\stackrel{.}{=}}\{ x∈ D, f(x) ∈ B\} ~ ~ , \]Dato \(B⊆ C\) sia \(B^ c=\{ x∈ C,x∉ B\} \) il complementare. Mostrate queste proprietà della controimmagine.
\begin{align} f^{-1}\bigl(⋃_{i∈ I} B_ i \bigr) & = ⋃_{i∈ I} f^{-1}\bigl(B_ i \bigr)\\ f^{-1}\bigl(⋂_{i∈ I} B_ i \bigr) & = ⋂_{i∈ I} f^{-1}\bigl(B_ i \bigr)\\ f^{-1}\bigl( B^ c \bigr) & = f^{-1}\bigl(B \bigr)^ c~ ~ . \end{align}- E75
[092] Siano \(D,C\) insiemi non vuoti e \(f:D→ C\) una funzione. Siano \(I\) una famiglia nonvuota di indici, \(A_ i⊆ D\), per \(i∈ I\). Dato \(A⊆ D\) ricordiamo che la immagine di \(A\) è il sottoinsieme \(f(A)\) di \(D\) dato da
\[ f(A){\stackrel{.}{=}}\{ f(x), x ∈ A\} ~ ~ . \]Mostrate queste proprietà della immagine.
\begin{eqnarray} f\bigl(⋃_{i∈ I} A_ i \bigr) & =& ⋃_{i∈ I} f\bigl(A_ i \bigr) \nonumber \\ f\bigl(⋂_{i∈ I} A_ i \bigr) & ⊆ & ⋂_{i∈ I} f\bigl(A_ i \bigr) \nonumber ~ ~ . \end{eqnarray}Mostrate che la funzione è iniettiva se e solo se
\begin{equation} f\bigl( A_ 1∩ A_ 2 \bigr) = f\bigl(A_ 1 \bigr) ∩ f\bigl(A_ 2 \bigr) \end{equation}79è un’ uguaglianza per ogni scelta di \(A_ 1,A_ 2⊆ D\).
- E75
[250]Siano \(D,C\) insiemi non vuoti e \(f:D\to C\) una funzione. Dato \(U\subseteq C\) mostrate che
\[ f(f^{-1}(U)) \subseteq U~ ; \]se \(f\) è surgettiva mostrate che si ha uguaglianza; trovate un esempio dove non si ha uguaglianza.
- E75
[251]Siano \(D,C\) insiemi non vuoti e \(f:D→ C\) una funzione. Dato \(A⊆ D\) mostrate che
\[ f^{-1}(f(A)) ⊇ A~ ; \]se \(f\) è iniettiva mostrate che si ha uguaglianza; trovate un esempio dove non si ha uguaglianza.
- E75
[2BX]Siano \(A,B\) insiemi non vuoti.
Supponiamo che \(f:A→ B\) sia una funzione iniettiva, allora esiste una funzione surgettiva \(g:B→ A\) tale che \(g◦ f=\text{Id}_ A\) (la funzione identità). (Una tale \(g\) è chiamata inversa sinistra di \(f\)).
Supponiamo che \(g:B→ A\) sia una funzione surgettiva, allora esiste una funzione iniettiva \(f:A→ B\) tale che \(g◦ f=\text{Id}_ A\). (Una tale \(f\) è chiamata inversa destra di \(g\)).
La dimostrazione della seconda asserzione richiede l’Assioma della Scelta (si veda 2).
Viceversa.
Se \(f:A→ B\) ha una inversa sinistra, allora è iniettiva.
Se \(g:B→ A\) ha una inversa destra allora è surgettiva.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2BY’]
- E75
[093] Sia \(A\) un insieme e sia \(g:A→ A\) iniettiva. Definiamo la relazione \(x∼ y\) che è vera quando si ha un \(n≥ 0\) per cui \(x=g^ n (y)\) oppure \(x= g^ n(y)\); dove
\[ g^ n=\overbrace{g◦ \cdots ◦ g}^ n \]è la \(n\)-esima iterata della composizione. (Decidiamo che \(g^ 0\) è la identità). Mostrate che \(x∼ y\) è una relazione di equivalenza. Studiate le classi di equivalenza. Sia \(U=⋂_{n=1}^∞ g^ n(A)\) l’intersezione delle immagine ripetute. Mostrate che ogni classe è interamente contenuta in \(U\) o ne è esterna.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’094’]
- E75
[095] Mostrate che esiste una funzione \(f:ℝ→ℝ\) tale che \(f(f(x))=-x\). Esiste una funzione continua per cui \(f(f(x))=-x\)? (Sugg. mostrate che per ogni tale \(f\) si ha \(f^{-1}(\{ 0\} )=\{ 0\} \)). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’096’]
- E75
[097]Mostrate che esiste una funzione \(f:[0,1]→[0,1]\) tale che \(f(f(x))=\sin (x)\). Esiste una funzione continua? Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’098’]
- E75
[01P] (Svolto il 2022-11-15) Siano \(D,C\) insiemi non vuoti. Una funzione parziale da \(D\) in \(C\) è una funzione \(𝜑:B→ C\) dove \(B⊆ D\). (La definizione di “funzione” è in 73).
Può far comodo pensare alla funzione parziale come a una relazione \(Φ⊆ D× C\) tale che, se \((x,a),(x,b)∈ Φ\) allora \(a=b\) (si veda 46). Le due nozioni sono equivalenti in questo senso: data \(Φ\) costruiamo il dominio di \(𝜑\), che chiameremo \(B\), con la proiezione di \(Φ\) sul primo fattore cioè \(B=\{ x∈ D : ∃ c∈ C, (x,c)∈Φ\} \), e definiamo \(𝜑(x)=c\) come l’unico elemento \(c∈ C\) tale che \((x,c)∈Φ\); viceversa \(Φ\) è il grafico di \(𝜑\).
Le funzioni parziali, viste come relazioni \(Φ\), sono naturalmente ordinate per inclusione; equivalentemente \(𝜑≤ 𝜓\) se \(𝜑:B→ C\) e \(𝜓:E→ C\) e \(B⊆ E⊆ D\) e \(𝜑=𝜓_{|B}\).
Sia ora \(U\) una catena, cioè una famiglia di funzioni parziali che è totalmente ordinata secondo l’ordinamento precedentemente dato; vedendo ogni funzione parziale come relazione, sia \(Ψ\) l’unione di tutte le relazioni in \(U\); mostrate che \(Ψ\) è il grafico di una funzione parziale \(𝜓:E→ C\), il cui dominio \(E\) è l’unione di tutti i domini delle funzioni in \(U\), e la cui immagine \(I\) è l’unione di tutte le immagini delle funzioni in \(U\)
Se inoltre tutte le funzioni in \(U\) sono iniettive, mostrate che \(𝜓\) è iniettiva.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’01Q’]
[UNACCESSIBLE UUID ’09B’] [UNACCESSIBLE UUID ’09C’] [UNACCESSIBLE UUID ’09D’]