23.1 Problemi autonomi
- E418
[1QR] Prerequisiti:3.Siano dati \(x_ 0,t_ 0∈ℝ\) fissati e \(f:ℝ→ℝ\) funzione limitata e continua con \(f(x_ 0)=0\) ma \(f(x){\gt}0\) per \(x≠ x_ 0\). Vogliamo studiare il problema autonomo
\[ \begin{cases} {x}’ (t) = f(x(t))~ ~ , \\ x (t_ 0 ) = x_ 0 ~ ~ .\end{cases} \]Notate che \(x≡ x_ 0\) è una possibile soluzione. Mostrate che se, per \(\varepsilon {\gt}0\) piccolo, 1
\begin{eqnarray} ∫_{x_ 0}^{x_ 0 + 𝜀} \! \frac{1}{f (y)}\, {\mathbb {d}}y = ∞ \label{eq:Osgood_ dei_ poveri_ dx} \\ ∫_{x_ 0-\varepsilon }^{x_ 0 } \! \frac{1}{f (y)}\, {\mathbb {d}}y=∞ \label{eq:Osgood_ dei_ poveri_ sx} \end{eqnarray}allora \(x≡ x_ 0\) è l’unica soluzione; mentre in caso contrario esistono molte soluzioni di classe \(C^ 1\): descrivetele tutte.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1QS’]
Le condizioni ?? e ?? sono un caso particolare della condizione di unicità di Osgood, si veda Problem 2.25 in [ 26 ] .
- E418
[1QV] Sia \(𝛼{\gt}1\) e si consideri l’equazione
\[ \begin{cases} x’ (t) = |x(t)|^𝛼~ ~ , \\ x (t_ 0 ) = x_ 0 ~ ~ \end{cases} \]con \(x_ 0,t_ 0∈ℝ\) fissati. Mostrate che si ha esistenza e unicità della soluzione; calcolate l’intervallo massimale di definizione; usate il metodo di separazione delle variabili per calcolare esplicitamente le soluzioni. (Essendo la equazione autonoma, si potrebbe assumere che \(t_ 0=0\), ma l’esempio risulta forse più chiaro con un \(t_ 0\) generico).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1QW’]
- E418
[1QX]Cosa succede nell’esercizio precedente nel caso \(𝛼∈ (0,1)\)?
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1QY’]
- E418
[1QZ] Prerequisiti:2.Sia \(𝛼{\gt}1\) e si consideri di nuovo
\[ \begin{cases} x’ (t) = |x(t)|^𝛼~ ~ , \\ x (0 ) = 1 ~ ~ \end{cases} \]abbiamo visto in 2 che questo ammette una soluzione massimale \(x : I_𝛼 →ℝ\). Fissato \(t∈ℝ\) mostrate che si ha \(t∈ I_𝛼\) per \(𝛼{\gt}1\) vicino a \(1\), e che \(\lim _{𝛼→ 1+} x(t)=e^ t\).
Notate che \(e^ t\) è la unica soluzione di \(x' (t) = |x(t)|\) con \(x (0 ) = 1\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1R0’]