3.11 Operazioni su insiemi[1YX]
- E118
[05R]Sia \(X\) un insieme non vuoto, e \(A ⊆ X\). Indicheremo con \(A^ c=X⧵ A=\{ x∈ X:x∉ A\} \) il complementare di \(A\) in \(X\).
Definiamo la funzione caratteristica \({\mathbb 1}_ A: X→ℤ\) come
\[ {\mathbb 1}_ A(x)= \begin{cases} 1 & \text{se}~ x∈ A\\ 0 & \text{se}~ x∉ A\\ \end{cases} ~ . \]Si dimostri che
\[ {\mathbb 1}_{A^ c} = 1-{\mathbb 1}_ A ~ ~ ,~ ~ {\mathbb 1}_{A∩ B} = {\mathbb 1}_ A {\mathbb 1}_ B ~ ~ ,~ ~ {\mathbb 1}_{A∪ B} = {\mathbb 1}_ A +{\mathbb 1}_ B - {\mathbb 1}_ A {\mathbb 1}_ B \]- E118
[05S]Consideriamo ora invece la funzione caratteristica definita come prima, ma considerata come \({\mathbb 1}_ A: X→ℤ_ 2\) cioè a valori nel gruppo delle classi resto \(ℤ_ 2\) (più correttamente indicato come \(ℤ/2ℤ\)).
In questo caso le precedenti si possono scrivere come
\[ {\mathbb 1}_{A^ c} = {\mathbb 1}_ A +1 ~ ~ ,~ ~ {\mathbb 1}_{A∩ B} = {\mathbb 1}_ A {\mathbb 1}_ B ~ ~ ,~ ~ {\mathbb 1}_{A∪ B} = {\mathbb 1}_ A {\mathbb 1}_ B +{\mathbb 1}_ A +{\mathbb 1}_ B~ . \]Ricordiamo la definizione della differenza simmetrica \( AΔ B= (A⧵ B) ∪ (B⧵ A) \), si mostri che questa si scrive come
\[ {\mathbb 1}_{AΔ B} = {\mathbb 1}_ A + {\mathbb 1}_ B ~ ~ . \]Con queste regole di calcolo si mostri che
\[ AΔ B = B Δ A ~ ~ ,~ ~ (AΔ B)^ c = A Δ (B^ c)=(A^ c) Δ B ~ ~ ,~ ~ AΔ B = C \iff A = B Δ C \]\[ (AΔ B)∩ C = (A∩ C) Δ (B∩ C) ~ ~ ,~ ~ A∪ (BΔ C) = (A∪ B)Δ (A^ c ∩ C) \]- E118
[05T]Siano \(A,B,C\) insiemi, allora
\begin{eqnarray*} A× (B∪ C) = (A× B)∪ (A× C)~ ~ ,\\ A× (B∩ C) = (A× B)∩ (A× C)~ ~ .\\ \end{eqnarray*}Dunque l’operazione di prodotto cartesiano è distributiva sull’unione e la intersezione.
- E118
[05V]Se \(A,B,C\) sono insiemi non vuoti e
\[ (A\times B) \cup (B\times A) = (C\times C) \]allora \(A=B=C\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’05W’]
- E118
[05X]Dati quattro insiemi \(X,Y,A,B\) con \(A⊂ X,B⊂ Y\), scrivete
\[ (X× Y)⧵ (A× B) \]come unione di tre insiemi a due a due disgiunti, ciascuno un prodotto cartesiano.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’05Y’]
- E118
[05Z]Vogliamo riscrivere le tautologie viste in 3 sotto forma di relazioni insiemistiche.
Sia \(X\) un insieme e siano \(𝛼,𝛽,𝛾⊆ X\) sottoinsiemi. Sia \(x∈ X\). Se definiamo \(A=(x∈ 𝛼)\), \(B=(x∈ 𝛽)\), \(C=(x∈ 𝛾)\) nelle tautologie, potremo poi riscrivere la tautologia come una formula fra insiemi \(𝛼,𝛽,𝛾,X,∅\), che usi i connettivi \(=,∩,∪\) e il complementare.
Sorprendentemente, la riscrittura può essere effettuata algoritmicamente e in maniera puramente sintattica. Scegliete una tautologie vista in 3. Nel seguito \(𝜑,𝜓\) indicano sottoparti della tautologia che sono formule ben formate.
Sostituite \(((𝜑) ⇒ (𝜓))\) con \(((¬(𝜑)) ∨ (𝜓))\) (otterrete un’altra tautologia).
Poi sostituite sintatticamente \(¬ (𝜑)\) con \((𝜑)^ c\), \(∨\) con \(∪\) e \(∧\) con \(∩\); sostituite \(A\) con \(𝛼\), \(B\) con \(𝛽\), \(C\) con \(𝛾\), \(V\) con \(X\) e \(F\) con \(∅\).
Infine, se la formula contiene almeno un “\(\iff \)”, trasformateli tutti in “\(=\)”; altrimenti aggiungete “\(=X\)” alla fine.
Verificate che questo “algoritmo” funziona davvero!
- E118
[060] Sia \(X\) un insieme. Siano \(I,J\) famiglie non vuote di indici, e per ogni \(i∈ I\) sia \(J_ i⊆ J\) una famiglia non vuota di indici. Per ogni \(i∈ I, j∈ I_ j\) sia \(A_{i,j}⊆ X\). Si mostri che
\[ ⋂_{i∈ I}⋃_{j∈ J_ i}A_{i,j}= ⋃_{𝛽∈ B} ⋂_{i∈ I} A_{i,𝛽(i)} \]dove \(B=∏_{i∈ I} J_ i\) e ricordiamo che ogni \(𝛽∈ B\) è una funzione \(𝛽:I→ J\) per cui per ogni \(i\) si ha \(𝛽(i)∈ J_ i\). Formulate poi una simile regola scambiando il ruolo intersezione e unione (usate i complementari degli insiemi \(A_{i,j}\) e le regole di de Morgan). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’061’]
Limsup e liminf di insiemi
[1Z2](Svolto il 2022-11-29) Dati \(A_ 1,A_ 2\ldots \) insiemi , per \(n∈ℕ\), definiamo
Supponiamo che \(A_ n\subseteq X\) per ogni \(n\). (Possiamo porre \(X=\bigcup _ n A_ n\)).
- E125
[063] Ricordiamo che
\[ A^ c=X⧵ A=\{ x∈ X:x∉ A\} \]è il complementare di \(A\) in \(X\) (come già definito in 33).. Mostrate che
\[ (\limsup _{n\to \infty } A_ n)^ c=\liminf _{n\to \infty } (A_ n ^ c)~ ~ . \]- E125
[064] Prerequisiti:160. Mostrate che
\begin{eqnarray} \label{eq:limsup_ insiemi_ freq} \limsup _{n→∞} A_ n & =& \{ x∈ X : x∈ A_ n \text{ frequentemente in~ }n\} ~ ~ ,\\ \label{eq:liminf_ insiemi_ defn} \liminf _{n→∞} A_ n & =& \{ x∈ X : x∈ A_ n \text{ definitivamente in~ }n\} ~ ~ . \end{eqnarray}(“Frequentemente” e “definitivamente” sono discussi in Sez. 4.7).
- E125
[065]Prerequisiti:2, 4. Dati \(A_ 1,A_ 2\ldots \) e \(B_ 1,B_ 2\ldots \) insiemi, per \(n∈ℕ\), dite se vi è una relazione (di uguaglianza o di contenimento) fra
\begin{eqnarray} \label{eq:liminf_ insiemi_ intersezione} (\liminf _{n→∞} A_ n) ∩ (\liminf _{n→∞} B_ n) & \stackrel{?}{=} & \liminf _{n→∞} (A_ n∩ B_ n)\quad ,\\ {} \label{eq:liminf_ insiemi_ unione} (\liminf _{n→∞} A_ n) ∪ (\liminf _{n→∞} B_ n) & \stackrel{?}{=} & \liminf _{n→∞} (A_ n∪ B_ n)\quad . \end{eqnarray}Se non si ha uguaglianza, mostrate un esempio. Usate poi 1 per stabilire simili regole per il \(\limsup _{n→∞} A_ n\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’066’]